Обобщена задача на КОРМОРАН:)

[ptj]

Нека 3-те ъгъла между часовата, минутната и секундната стрелка на часовника са [tex]\alpha,\beta,\gamma[/tex].

Можете ли да намерите критерий (за верен часовник), по който да ги разделите на два класа - "възможни" и "невъзможни"?

Проблема е отворен - т.е. имам някакви идеи, но не и пълно решение (засега).

[KOPMOPAH]

Чувствам се поласкан ...

[ptj]

Ще направя едно доуточнение в условието:

[tex]\alpha[/tex] е ъгъла между минутна и часова стрелки,

[tex]\beta[/tex] - между секунда и минутна,

необходимостта от трети ъгъл ([tex]\gamma[/tex]) отпада.


Ъгъла между оста съответваща на 00:00:00 часа и часовата стрелка не ни е известен. В обратния случай той определя еднозначно положението и на останалите стрелки.

[Davids]

Ако наистина никъде не е писано нищо по този общ теоретичен въпрос, това ми звучи като една много интересна потенциална разработка от по-висок калибър. Цяло откритие дори Искрено се накефих! Ще се заема и ще следя за дейността в темата

[0xdeadbeef]

Ами ето критерии: Записва се в една таблица часът и съответно в три колони мерките на ъглите. Нещо не разбирам, какъв е теоретичния интерес в тази задача ...

[Davids]

Ами ето критерии: Записва се в една таблица часът и съответно в три колони мерките на ъглите. Нещо не разбирам, какъв е теоретичния интерес в тази задача ...

Сещаш се също, че има и междинни състояния (не само целите минути, часове, секунди), нали? Следователно са безкрай комбинациите от потенциално безкрайно малки ъгли, на които все пак физически са разположени стрелките. Само че тази безкрайност от това множество не съвпада с безкрайността от ВСИЧКИ тройки ъгли (отново безкрайно малки), чийто сбор е 360. Ето тук е интересното - къде е критерият, който определя коя тройка ъгли е възможно разпределение на стрелките и коя тройка не е. Търсим квази общовселенската зависимост отдолу

[0xdeadbeef]

Ами ето критерии: Записва се в една таблица часът и съответно в три колони мерките на ъглите. Нещо не разбирам, какъв е теоретичния интерес в тази задача ...

Сещаш се също, че има и междинни състояния (не само целите минути, часове, секунди), нали? Следователно са безкрай комбинациите от потенциално безкрайно малки ъгли, на които все пак физически са разположени стрелките. Само че тази безкрайност от това множество не съвпада с безкрайността от ВСИЧКИ тройки ъгли (отново безкрайно малки), чийто сбор е 360. Ето тук е интересното - къде е критерият, който определя коя тройка ъгли е възможно разпределение на стрелките и коя тройка не е. Търсим квази общовселенската зависимост отдолу

в такъв случай, думата часовник е подвеждаща.

[ptj]

Има се предвид часовник със стрелки, фиксиращ еднозначно всеки един момент от денонощието,
т.е. [tex]\alpha,\beta \in R[/tex] ; [tex]0\le\alpha<360^\circ[/tex]; [tex]0\le \beta <360^\circ[/tex].

[Davids]

в такъв случай, думата часовник е подвеждаща.

Е и класическият часовник не прескача само по целите стойности, а се движат всички стрелки равномерно и постоянно с една и съща скорост.

[yassi]

Ще направя едно доуточнение в условието:

[tex]\alpha[/tex] е ъгъла между минутна и часова стрелки,

[tex]\beta[/tex] - между секунда и минутна,

необходимостта от трети ъгъл ([tex]\gamma[/tex]) отпада.


Ъгъла между оста съответваща на 00:00:00 часа и часовата стрелка не ни е известен. В обратния случай той определя еднозначно положението и на останалите стрелки.

Аз така бих написал условието:
Да се намери зависимост между ъглите на трите часовникови стрелки, така че да може да се провери възможността на всяка комбинация от ъгли.

[drago]

Не виждам какво сложно има в тази задача. Разглеждаме относителното движение на стрелките относно часовата. Все едно тя е неподвижна, а минутната и секундната се движат. Има 11 оборота на минутната, след което всичко се повтаря. За всеки от тези обороти има 11 оборота на секундната, всеки с различно съотношение между ъглите, което е едно и също. Само случаи и сметки, това е.

[ptj]

Чакам резултат, не приказки и идеи...

[drago]

Чакам резултат, не приказки и идеи...

Ами ок, но както казах, това не ми е интересно и нямам намерение да ти го пиша специално, само щото чакаш.

[Davids]

Ами ок, но както казах, това не ми е интересно и нямам намерение да ти го пиша специално, само щото чакаш.

Малко грешен подход в демонстрирането на "пф, колко е елементарно". Ако искаш да излезеш с достойнството си след така или иначе инциираното от теб твърдение, бива да го подплътиш с нещо повече от обобщено голословие. Сори, ако влизам малко примитивно и под обичайното културно ниво, но изказването ти въздейства доста провокативно

[yassi]

Не виждам какво сложно има в тази задача. Разглеждаме относителното движение на стрелките относно часовата. Все едно тя е неподвижна, а минутната и секундната се движат. Има 11 оборота на минутната, след което всичко се повтаря. За всеки от тези обороти има 11 оборота на секундната, всеки с различно съотношение между ъглите, което е едно и също. Само случаи и сметки, това е.

Това е много хубаво решение!
Ще можете ли да ми кажете тогава възможно ли е трите стрелки да са под ъгли 100/20/240 градуса?
Защото това се пита в задачата. От това решение не ми става ясно възможно ли е или не!

[yassi]

Идеята ми за решаване на задачата е:
Ако времето е х, то е ясно, че х определя ъглите на трите стрелки спрямо 0/12 часа. Откъдето х определя и ъглите между стрелките.
Също е видно, че х изразено в градуси е ъгълът на часовата стрелка спрямо 0/12 часа.
Значи:
[tex]\alpha[/tex]=f1(x)
[tex]\beta[/tex]=f2(x)
[tex]\gamma[/tex]=f3(x)

Остава да намерим подходящ формат за записването на времето така че да намерим:
х=f4([tex]\alpha[/tex])
x=f5([tex]\beta[/tex])
x=f6([tex]\gamma[/tex]
Ако ги намерим тези функции просто заместваме с трите ъгъла и проверяваме дали те са равни, ако са равни то времето когато ще се получи това е и тяхното равенство х.
Нямам време, после ще се помъча да доразвия идеята.

[matst]

Ако се използват означенията на ptj от поста на 16 Фев 2018, 12:45
то получавам система със следните условия

1. [tex]\frac{708 \alpha - 11 \beta}{360}= t[/tex] трябва да е цяло число
2. диофантовото уравнение [tex]11 m - 59 n = t[/tex] да има такова решение, за което [tex]m\in [0;59][/tex] и [tex]n\in[0;11][/tex]
3. [tex]s=\frac{60 m +10 \beta}{59}[/tex] да е реално число от интервала [0;60).

(тук t е спомагателна величина, n е часът, m е минутите, s е секундите)

Така, например, при [tex]\alpha=100^\circ[/tex] единствената възможност е [tex]\beta=120^\circ[/tex] , [tex]t=193[/tex] , [tex]n=7[/tex] ч., [tex]m=20[/tex] мин., [tex]s=2400/59~40.677966[/tex] сек.

[ptj]

Ако е възможно малко по-подробна обосновка, защото в последния ред с примера се съмнявам, че има
повече от 1 стойност за [tex]\beta[/tex] (при [tex]\alpha=100^\circ[/tex]).

[yassi]

Ще приема промяната на задачата както ptj предложи: Да се намери критерий по който да се установи възможността и невъзможността на [tex]\alpha[/tex] и [tex]\beta[/tex]
Пример: Възможно ли е двата ъгъла да са 147гр/34гр
Vч=1/120 гр/с, Vм=1/10 гр/с, Vс=6 гр/с
Да приемем времето х във формат = на секундите, или х е всяко реално число от 0 до 12.3600=43200
Ъгълъ, който изминава часовата стрелка е х/120, минутната х/10, секундната 6.х
За периода от 00 до 12 часа [tex]\alpha[/tex] се повтаря 11 пъти.
Уточнявам, че решавам задачата, като приемам, че ъгълът е от 0 до 360 гр, т.е. първо е часовата стрелка, после минутната. Това го правя, защото е по-лесно. Ако решаваме с ъгъл от 0 до 180 гр повторяемостта просто е 22 пъти, не 11, повече сметки.
Ако наречем един цикъл започвайки от 00 часа в който [tex]\alpha[/tex] се повтаря, с малко сметки се вижда, че с всеки цикъл секундната стрелка се измества напред да кажем с 163гр от положението си в предходния цикъл.
Това означава, че при конкретно [tex]\alpha[/tex] ще има 11 възможности за [tex]\beta[/tex]
т.е. ако [tex]\alpha[/tex]=147гр ще имаме 11 различни [tex]\beta[/tex]
В такъв случай искаме не искаме трябва да изследваме тези 11 случая и да видим дали един от тях е 34гр (от примера 147/34гр).
Трябва да намерим най-лесната зависимост за да може бързо да се изчислят 11-те варианта.
[tex]\alpha[/tex]=х/10 - х/120 = (11/120).х , уточнявам, че този ъгъл може и да е > 360гр
Търся времето х и за да направя [tex]\alpha[/tex] във формат от 0 до 360 записвам:
х=([tex]\alpha[/tex]+n.360).120/11, където n e от 0 до 11 (11-те цикъла)
[tex]\beta[/tex]=6.х-х/10=(59/10).х
Заместваме х:
[tex]\beta[/tex]=(59/10).([tex]\alpha[/tex]+n.360).120/11=(7080/11).([tex]\alpha[/tex]+n.360)
Заместваме с 147, проверяваме всички случаи за n от 0 до 11 и проверяваме дали има 34гр. Ако няма, значи тази комбинация не е възможна.
П.С. Искам да питам към условието: Трите ъгъла трябва ли да са цели числа? Защото ако са цели, може да се доразвие решението.

[ptj]

Може да разгледаш 2 случая - когато са рационални (свеждат се към цели) и когато са ирационални.

[matst]

Сгрешил съм в поста от Фев 20, 2018 12:00 am . Прегледах наново изчисленията и сега ще напиша по-подробно съчинение.

Преди всичко уточнявам, че ъглите ще измервам в положителна посока - обратна на движението на часовниковата стрелка.

Моментът във времето е: n часа, m минути и s секунди. Така n и m са цели числа такива, че 0<=n<=11, 0<=m<=59 и s е реално число такова, че 0<=s<60.

Оста съответваща на 00:00:00 нека наречем "база". Изчисляват се ориентираните ъгли (с първо рамо базата) в положителна посока на които се намират трите стрелки: [tex]\gamma=2\pi(1-(3600n+60m+s)/43200)[/tex] е до часовата стрелка, [tex]\alpha_1=2\pi(1-(60m+s)/3600)[/tex] до минутната и [tex]\beta_1=2\pi(1-s/60)[/tex] е до секундната стрелка.

След това изчислявам ориентираните ъгли [tex]\alpha, \beta[/tex] като разглеждам 6 случая за разположение на стрелките относно базата
([tex]\beta_1=\alpha_1=\gamma[/tex] само когато стрелките са върху базата и пропускам този случай)
сл 1.1 ако [tex]\beta_1<\alpha_1<\gamma[/tex], то [tex]\alpha=360^\circ-(\gamma-\alpha_1), \beta=360^\circ-(\alpha_1-\beta_1)[/tex]
сл 1.2 ако [tex]\gamma<\beta_1<\alpha_1[/tex], то [tex]\alpha=-(\gamma-\alpha_1), \beta=360^\circ-(\alpha_1-\beta_1)[/tex]
сл 1.3 ако [tex]\alpha_1<\gamma<\beta_1[/tex], то [tex]\alpha=360^\circ-(\gamma-\alpha_1), \beta=-(\alpha_1-\beta_1)[/tex]
сл 2.1 ако [tex]\alpha_1<=\beta_1<\gamma[/tex], то [tex]\alpha=360^\circ-(\gamma-\alpha_1), \beta=-(\alpha_1-\beta_1)[/tex]
сл 2.2 ако [tex]\gamma<=\alpha_1<=\beta_1[/tex], то [tex]\alpha=-(\gamma-\alpha_1), \beta=-(\alpha_1-\beta_1)[/tex]
сл 2.3 ако [tex]\beta_1<\gamma<=\alpha_1[/tex], то [tex]\alpha=-(\gamma-\alpha_1), \beta=360^\circ-(\alpha_1-\beta_1)[/tex]

След това, преработвам формулите за [tex]\alpha[/tex] и [tex]\beta[/tex] като се заместят [tex]\alpha_1[/tex], [tex]\beta_1[/tex] и [tex]\gamma[/tex].
Така, в сл 1.1 се получава
[tex]\frac{\alpha}{2\pi}=1-\frac{11}{43200}s+\frac{1}{12}n-\frac{11}{720}m[/tex]
[tex]\frac{\beta}{2\pi}=1+\frac{1}{60}m-\frac{59}{3600}s[/tex].
Изразява се s от втората формула, замества се в първата и се получава
[tex]11m-59n=11\frac{\beta}{2\pi}-708\frac{\alpha}{2\pi}+697[/tex]
[tex]s=\frac{60}{59}m- \frac{3600}{59}\frac{\beta}{2\pi}+\frac{3600}{59}[/tex]
За другите 5 бр случаи се постъпва аналогично като различията са в свободните членове. (Формулите в сл. 2.1 съвпадат с формулите в сл. 1.3 и аналогично - сл. 2.3 <-> сл. 1.2)

Така се получава системата от условия за [tex]\alpha[/tex] и [tex]\beta[/tex] при условие, че са зададени в градуси.
Например, в случай 2.2
1. [tex]t=\frac{11\beta-708\alpha}{360}[/tex] да е цяло число
2. диофантовото уравнение [tex]11m-59n=t[/tex] да има такива решения, че 0<=n<=11, 0<=m<=59
3. [tex]s=\frac{60}{59}m- \frac{3600}{59}\frac{\beta}{360}[/tex] трябва да е реално число от интервала [0;60)

И сега, числов пример. Ако [tex]\alpha=100^\circ[/tex], [tex]\beta=120^\circ[/tex], то
се получава решение само в случай 2.2 и то е n=7, m=20, s=0.
И с [tex]\alpha=100^\circ[/tex] това е единственото решение.

[yassi]

И сега, числов пример. Ако [tex]\alpha=100^\circ[/tex], [tex]\beta=120^\circ[/tex], то
се получава решение само в случай 2.2 и то е n=7, m=20, s=0.
И с [tex]\alpha=100^\circ[/tex] това е единственото решение.

И аз стигнах до същия резултат по моя начин:
[tex]\beta=\frac{708}{11}.(\alpha+n.360)[/tex]
Само при n=4 се получава [tex]\beta=120^\circ[/tex] цяло число.
Но доколкото разбрах ъглите може и да не са цели и тогава има още 10 решения. Въпреки, че ако задачата е само за цели ъгли ми звучи много добре

[matst]

Да, така е. Пропуснал съм ги.

Ето решенията
[n=0,m=47,s=180/11] при [tex]\beta=\frac{2040}{11}^\circ[/tex]
[n=1,m=52,s=480/11] при [tex]\beta=\frac{600}{11}^\circ[/tex]
[n=2,m=58,s=120/11] при [tex]\beta=\frac{3120}{11}^\circ[/tex]
[n=4,m=3,s=420/11] при [tex]\beta=\frac{1680}{11}^\circ[/tex]
[n=5,m=9,s=60/11] при [tex]\beta=\frac{240}{11}^\circ[/tex]
[n=6,m=14,s=360/11] при [tex]\beta=\frac{2760}{11}^\circ[/tex]
[n=7,m=20,s=0] при [tex]\beta=120^\circ[/tex]
[n=8,m=25,s=300/11] при [tex]\beta=\frac{3840}{11}^\circ[/tex]
[n=9,m=30,s=600/11] при [tex]\beta=\frac{2400}{11}^\circ[/tex]
[n=10,m=36,s=240/11] при [tex]\beta=\frac{960}{11}^\circ[/tex]
[n=11,m=41,s=540/11] при [tex]\beta=\frac{3480}{11}^\circ[/tex]

Това е списъкът с всички решения с ориентирани ъгли за [tex]\alpha=100^\circ[/tex].

При разглеждане на неориентирани ъгли се оказва, че списъкът се допълва с огледално симетричните.
Например, за [n=0,m=47,s=180/11] симетрично е [n=11,m=12,s=480/11].