2u+1, 3u+1, 6u+1

[martin123456]

Намерете всички [tex]u \in \mathbb{N}[/tex], че [tex]2u+1[/tex], [tex]3u+1[/tex] и [tex]6u+1[/tex] са точни квадрати.

[mousehack]

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=156645

[martin123456]

а някакъв друг начин без тази брутална теория

[ivdechev]

Здравейте,
бих искал да споделя няколко идеи свързани с тази интересна задача.
Първо нека допуснем, че сме намерили такова u за което:
a2 = 2u +1, b2 = 3u +1, c2 = 6u +1, тогава:
a2-1 = 2u, (a-1)(a+1) = 2u
b2-1 = 3u, (b-1)(b+1) = 3u
c2-1 = 6u, (c-1)(c+1) = 6u, очевидно, че a и c са нечетни. Нека a=2a1+1, c=2c1+1, тогава:
(а-1)(а+1) = (2а1+1-1)(2а1+1+1) = 2а1(2а1+2) = 4а1(а1+1) = 2u, или получаваме, че u e четно.
Щом u е четно следователно и b е нечетно. Нека u=2u1+1, b=2b1+1. Тогава:
4a1(a1+1) = 4u1, a1(a1+1) = u1;
4b1(b1+1) = 6u1, 2b1(b1+1) = 3u1;
4c1(c1+1) = 12u1, c1(c1+1) = 3u1. Нека вземем равенството: 2b1(b1+1) = c1(c1+1). числата b1, b1+1 са последователни и взаимнопрости. Същото се отнася и за числата c1 и c1+1. От тук следва, че b1 дели само едно от двете c1 или c1+1. Аналогични са разсъжденията и за b1+1. Съвсем условно (без значение кое ще изберем), нека c1 = k.b1, а (c1+1) = p.(b1+1). Тогава 2b1(b1+1) = k.p.b1.(b1+1), или 2=k.p. Ясно е, че единственото решение на това уравнение 2b1(b1+1)=c1(c1+1) е b1=c1=0, или b=c=1, откъдето се получава, че и a=1 а u=0.

[allier]

Тези идеи са хубави, но не водят до решение. Разсъждението, че ако едно число дели произведението на две последователни, то това число дели едното от двете, е грешно.

[martosss]

Може би allier има предвид нещо от сорта на 2*14*15=420=21*20
Ето го равенството, изпълнено е, но 14 и 15 поотденло не делят 20 и 21

[Станислав]

От [tex]p|ab\Rightarrow p|a \cup p|b[/tex] само за прости числа... Това е искал да каже allier ;]