Прости числа и липса на корени

[Davids]

Да се докаже, че ако $\overline{abc}$ е просто трицифрено число, то уравнението $ax^2 + bx + c = 0$ няма рационални корени.

[pal702004]

$b^2-4ac=d^2$
$b^2-d^2=4ac$

$b\ge d$ са с еднаква четност, тогава $b=n+k,\;d=n-k$. Получаваме условие
$nk=ac$, където $a,c,n+k\le 9$
Ако $n=a$ или $n=c$ се получава $c-b+a=0$ и числото $\overline{abc}$ се дели на 11 (по признака за делимост на 11).
Следователното числото $A=nk=ac$ трябва да е представимо поне по два различни начина във вид на произведение на две числа, по-малки от 10.
Ако $n+k+a+c$ се дели на 3, то $\overline{abc}$ се дели на 3 (по признака за делимост на 3)
Също така, за да е просто числото, трябва $c\in \{1,3,7,9\}$
Тъй като $b^2 \le 81$, то $ac \le 20\quad (b^2-4ac \ge 0)$

Проверяваме, те не са много:
$18=3\cdot 6=2\cdot 9,\;299=13\cdot 23$

$16=4\cdot 4=2\cdot 8$ - всичко е четно, няма $c$

$12=3\cdot 4=2\cdot 6$ - делимост на 3

$9=3\cdot 3=9\cdot 1,\;b=6$
$169=13^2,\;961=31^2$

$8=2\cdot 4=8\cdot 1$ - делимост на 3

$6=2\cdot 3=6 \cdot 1$ - делимост на 3

$4=2\cdot 2=4\cdot 1$ - делимост на 3.

Това е.

[matst]

Допускането, че има такова [tex]p/q[/tex] (p и q - взаимно прости цели числа и q не е нула), което е корен на [tex]ax^2+bx+c=0[/tex]
води до противоречие.

Това е така, защото като се изключи a от системата
[tex]\begin{array}{|l} 100a+10b+c=N \\ p^2a+pqb+q^2c=0 \end{array}[/tex]
се получава [tex]p^2N=(10p^2-100pq)b-(100q^2-p^2)c=(10q-p)(10pb-(10q+p)c)[/tex]
и значи всеки прост делител s на (10q-p) трябва да дели [tex]p^2N[/tex]
(да забележим, че s е най-много двуцифрено т.к. p дели c и q дели a)
[tex]\Rightarrow[/tex] s дели p [tex]\Rightarrow[/tex] s дели 10q
[tex]\Rightarrow[/tex] s е или 2 или 5 (това обаче е невъзможно, защото
означава, че поне едно от 2 и 5 е число, делящо p и значи --- c и значи --- N).

[pal702004]

и значи всеки прост делител s на (10q-p) трябва да дели [tex]p^2N[/tex]

Дотук добре.

[tex]\Rightarrow[/tex] s дели p

Защо да следва точно това? Ами случая s дели N къде е?
Съсвем изключих, че ако s дели N, то N съставно.
Всичко е ок.

Случая $10q-p=\pm 1$ не се разглежда, понеже $q>0,p<0$

Значи задачата може да се обобщи не само за цифри $a,b,c$ а за естествени числа.

[matst]

Изпуснал съм случая когато [tex]10q-p=\pm 1[/tex]. Благодаря.

[pal702004]

Той е тривиален. Да обощим идеята ти.

Ако $f(x)=ax^2+bx+c$ е полином с коефициенти естествени числа и $x_1,x_2$ са негови корени, то

$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ и ако корените са рационални, то те са отрицателни и знаменателите им са делители на $a$.

Откъдето очевидно следва, че $f(10)$ е съставно. (а и от кой да е друг ествествен аргумент).

Може да се обобщи и за полиноми от по-високи степени.

[matst]

Ето вариант за обобщение.

Задача. Нека [tex]f(x)=ax^2+bx+c[/tex] е полином с цели коефициенти, [tex]a\ne0[/tex].
Ако [tex]f(x)[/tex] има рационални корени [tex]p/q[/tex] и [tex]u/v[/tex], където [tex]p[/tex] и [tex]q[/tex] са взаимно прости цели числа и
[tex]u[/tex] и [tex]v[/tex] са взаимно прости цели числа, то за всяко цяло число [tex]n\notin\{(p\pm1)/q, (u\pm1)/v, 0 \}[/tex]
стойността [tex]f(n)[/tex] е съставно число (0 се счита за съставно).

Примери
1. [tex]p/q=1/2, u/v=-1/2[/tex], [tex]f(x)=4x^2-1[/tex] и при [tex]n=1\in\{ (p\pm1)/q, (u\pm1)/v, 0 \}[/tex] е в сила [tex]f(n)=3[/tex] --- просто.
2. [tex]p/q=1/2, u/v=-1/3[/tex], [tex]f(x)=6x^2-x-1[/tex] и при [tex]n=1\in\{ (p\pm1)/q, (u\pm1)/v, 0 \}[/tex] е в сила [tex]f(n)=4[/tex] --- съставно.