Ъглополовяща

[monika_at]

АМ и АN са вътрешната и външната ъглополовяща на ъгъл ВАС в триъгълник АВС. Построена е окръжност с диаметър MN, минаваща през т. А. Да се докаже, че за всяка точка Р от окръжността е в сила, че [tex]\frac{PB}{PC}=\frac{AB}{AC}[/tex].

[Davids]

Okrujnost i triugulnik.png (42.76 KiB) Прегледано 727 пъти

Не съм много сигурен, но смятам, че това би трябвало да е достатъчно доказателство: От $\Delta ABC$ и свойството на вътрешната и външната ъглополовяща, имаме, че $\frac{BM}{MC} = \frac{CB}{CN} = \frac{AB}{AC}$. Сега, ако разгледаме триъгълник $PBC$, за който също важи $\frac{BM}{MC} = \frac{CB}{CN}$, то не следва ли, че $N$ е пресечната точка на външната ъглополовяща на $\angle CPB$ с правата $AB$, а точка $M$ - на вътрешната. Откъдето вече нали $\frac{PB}{PC} = \frac{BM}{MC} = \frac{AB}{AC}$, или нещо бъркам по причинно-следствените връзки? Но все пак ми се струва, че няма как да има други точки $M$ и $N$ от правата $AB$, за които да важи същата пропорция.

[monika_at]

Объркал си свойството на външната ъглополовяща.

[Davids]

Объркал си свойството на външната ъглополовяща.

Оф, да, сега забелязах и аз... $\frac{AB}{AC} = \frac{BN}{CN}$. Но и така да е, не важи ли отново същата логика?

[S.B.]

Дадено:[tex]\triangle[/tex]ABC,AM и АN съответно вътр. и външна ъглополовяща на [tex]\angle[/tex]А;построена е окр.k,с диаметър MN и т.А[tex]\in[/tex]k;
Да се докаже,че за [tex]\forall[/tex]т.P[tex]\in[/tex]k е изпълнено:[tex]\frac{PB}{PC}[/tex] = [tex]\frac{AB}{AC}[/tex];
Доказателство:От свoйството на ъглополовящите : [tex]\frac{MB}{MC}[/tex] = [tex]\frac{AB}{AC}[/tex] и съответно [tex]\frac{NB}{NC}[/tex] = [tex]\frac{AB}{AC}[/tex] ; Нека т.P[tex]\in[/tex]k
1) Aко P[tex]\equiv[/tex]M тогава [tex]\frac{PB}{PC}[/tex] = [tex]\frac{AB}{AC}[/tex];аналогично ако P[tex]\equiv[/tex]N тогава [tex]\frac{PB}{PC}[/tex] =[tex]\frac{AB}{AC}[/tex]; Ако P[tex]\equiv[/tex]A тогава очевидно [tex]\frac{PB}{PC}[/tex] = [tex]\frac{AB}{AC}[/tex]
2) Нека P[tex]\ne[/tex]M, P[tex]\ne[/tex]N и P[tex]\ne[/tex]A;Нека [tex]\angle[/tex]А = [tex]\alpha[/tex],а неговият съседен (външният) = [tex]\alpha[/tex]' Като съседни [tex]\alpha[/tex] + [tex]\alpha[/tex]' = 180[tex]^\circ[/tex],
тогава [tex]\angle[/tex]MAN = [tex]\frac{\alpha}{2}[/tex] + [tex]\frac{\alpha'}{2}[/tex] или [tex]\angle[/tex]MAN= 90[tex]^\circ[/tex];[tex]\rightarrow[/tex] МN се вижда под [tex]\angle[/tex]=90[tex]^\circ[/tex] и за [tex]\forall[/tex]т.P [tex]\in[/tex] дъгата MN [tex]\angle[/tex]MPN=90[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex][tex]\forall[/tex]т.P би могла да бъде връх на [tex]\triangle[/tex]PBC в който PM и PN са съответно вътрешна и външна ъглополовяща на [tex]\angle[/tex]P и тогава ще бъде изпълнено [tex]\frac{МB}{MC}[/tex] = [tex]\frac{PB}{PC}[/tex] също [tex]\frac{NB}{NC}[/tex] = [tex]\frac{PB}{PC}[/tex] но от [tex]\triangle[/tex]ABC имаме [tex]\frac{MB}{MC}[/tex] = [tex]\frac{AB}{AC}[/tex] и [tex]\frac{NB}{NC}[/tex] = [tex]\frac{AB}{AC}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]за [tex]\forall[/tex]т.P[tex]\in[/tex]k [tex]\frac{PB}{PC}[/tex] = [tex]\frac{AB}{AC}[/tex]

[matst]

Дадено т. [tex]N[/tex],[tex]M[/tex],[tex]B[/tex],[tex]C[/tex] на една права
такива, че [tex]CM:BM=CN:BN=m:1[/tex]
и т. [tex]P[/tex] такава, че [tex]\angle MPN=90^\circ[/tex]

Трябва да се докаже, [tex]PC:PB=m:1[/tex].

Построяват се т. [tex]B_1[/tex], [tex]B_2[/tex], [tex]C_1[/tex], [tex]C_2[/tex]
така, че
[tex]B_1[/tex] е върху [tex]PN[/tex], [tex]B_2[/tex] е върху [tex]PM[/tex] и четириъгълникът [tex]P B_1 B B_2[/tex] е правоъгълник
и
[tex]C_1[/tex] е върху [tex]PN[/tex], [tex]C_2[/tex] е върху [tex]PM[/tex] и четириъгълникът [tex]P C_2 C C_1[/tex] е правоъгълник

Доказваме, че
1. [tex]C C_2:B B_2=m:1[/tex]
това следва от подобието на триъгълниците [tex]\triangle M C_2 C[/tex] и [tex]\triangle M B_2 B[/tex]

2. [tex]C C_1:B B_1=m:1[/tex]
това следва от подобието на триъгълниците [tex]\triangle N C_1 C[/tex] и [tex]\triangle N B_1 B[/tex]

3. [tex]\angle C_2 P C=\angle B_2 P B[/tex]
това следва от подобието на триъгълниците [tex]\triangle C C_2 P[/tex] и [tex]\triangle B B_2 P[/tex]
[tex]C C_2: B B_2 = m:1= C C_1 : B B_1 = P C_2 : P B_2[/tex]
и [tex]\angle C C_2 P = \angle B B_2 P[/tex]

От 3. следва, че [tex]P C : P B =m:1[/tex]. ктдд

P.S. Исках да прикача и ggb файла, но не знаех как е най-добре да направя това.