Намерете височината

[ева]

В окръжност с радиус R е вписан равнобедрен триъгълник,медианата към бедрото на който е m.Да се намери височината към основата на триъгълника.
Има 2 отг. при m[tex]\le[/tex]R и при m>R

[123a]

Единият от отговорите $h=\sqrt{\frac{81R^2-20m^2}{12}}$ ли е?

[ева]

отг.[tex]\frac{9R-\sqrt{81R^{2}-32m^{2}}}{8}[/tex] ; [tex]\frac{9R\pm\sqrt{81R^{2}-32m^{2}}}{8}[/tex]
При m[tex]\in[/tex] ? зад.няма р-е ?

[Davids]

20180328_181505.jpg (1.5 MiB) Прегледано 635 пъти

П.С.: Посоката на снимаката принципно е вертикална, форумът я извърта хоризонтално по някаква причина... Съжалявам за което...но съм навън и не мога да го разпиша сега

[matst]

Трябва да е изпълнено [tex]h<2R[/tex].

От тук следва, че трябва да се разгледат два случая за [tex]m[/tex].
При [tex]0<m \le R[/tex] отговорът е само с минус пред радикала.
При [tex]R< m< \frac{9}{4\sqrt{2}} R[/tex] отговорът са двете решения за [tex]h[/tex].

Освен това при [tex]m= \frac{9}{4\sqrt{2}} R[/tex] отговорът е само едно решение за [tex]h[/tex],
защото двете решения съвпадат.

[ева]

Кога зад. няма решение ?

[matst]

Забравих, че и това се търси.
Няма решение при [tex]\frac{m}{R}\not\in(0;\; \frac{9}{4\sqrt{2}})[/tex]

Ето обосновка на твърдението, че ако равнобедрен триъгълник има радиус на описаната окръжност [tex]R[/tex],
то за дължината [tex]m[/tex] на медианата към бедрото е в сила
[tex]m\le \frac{9}{4\sqrt{2}}R[/tex]

Нека [tex]\triangle ABC[/tex] е равнобедрен триъгълник с връх [tex]C[/tex] и основа [tex]AB[/tex].
Нека [tex]\alpha=\angle BAC[/tex].
Значи,
(1) [tex]AB[/tex] е хорда на вписан ъгъл [tex]180^\circ-2\alpha[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]AB=2R\sin(180^\circ-2\alpha)=2Rsin(2\alpha)=4R\sin \alpha \cos \alpha[/tex].
(2) [tex]BC[/tex] е хорда на вписан ъгъл [tex]\alpha[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]BC=2R\sin \alpha[/tex]
(3) [tex]m^2=\frac{1}{4}(2AB^2+2AC^2-BC^2)=\frac{1}{4}(2AB^2+AC^2)[/tex]

Заместват се (1) и (2) в (3)
[tex]m^2=R^2(8\cos^2 \alpha \sin^2 \alpha +\sin^2 \alpha)=R^2 \sin^2 \alpha (9- 8 \sin^2 \alpha)[/tex]
Следователно, (тук, [tex]t=\sin^2 \alpha[/tex], [tex]t\in(0;1)[/tex])
[tex]\frac{m^2}{R^2}\le \sup\limits_{0<t<1} t(9-8t)=\left. t(9-8t)\right|_{t=\frac{9}{16}}=\frac{9}{32}.[/tex]

[ева]

Не трябва ли просто подкоренната величина да е отрицателна ?

[matst]

Да, съгласен съм, че написаното е малко в повече.
Не го натрапвам. Вие попитахте и аз отговорих.

Аз съм съгласен, че [tex]h_{1,2}=\frac{9R\pm \sqrt{81R^2-32m^2}}{8}[/tex]
е в сила при [tex]81R^2-32m^2\ge 0[/tex] и иначе --- не.

Философски погледнато, напълно възможно е да има и други формули за [tex]h_{1,2}[/tex]
с други условия за приложимост.

Продължавайки философските разсъждения и загатвайки за реалните проблеми в други теории,
без повече да се конкретизира каквото и да е, по-добре е постулира, че не бива да се пропуска
намирането на дефиниционно множество преди намиране на решения на задача. И този постулат да не се нарушава
с цел формиране на правилни навици.
(Е, то и без такива навици един разумен човек ще се справи с тези задачи --- решението му ще е "на два реда"
и ще е разбираемо за другите разумни хора.)

Само, че колко са хората, които ще задълбаят толкова, че тези навици да са от решаващо значение в работата им.
Аз съм от онези, които при първа възможност пренебрегват намирането на дефиниционно множество.
Признавам, че не постъпвам правилно, но времената когато ми пишеха двойки за това отминаха.