Граница

[Петър Евгениев]

Пресметнете [tex]\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n!}{n^{n}}\right)^\frac{1}{n}[/tex]

[Петър Евгениев]

[tex]\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n!}{n^{n}}\right)^{\frac{1}{n}}[/tex]
Както може би сте забелязали, че [tex]\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n!}{n^{n}}\right)=0[/tex], понеже знаменателя расте много по-бързо един вид.
Също е ясно, че [tex]\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}=0[/tex] тоест става: [tex]0^{0}[/tex], което е недефинирано.
$$A=\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n!}{n^{n}}\right)^{\frac{1}{n}} |ln \Rightarrow ln(A)=ln\left(\left(\lim_{n \to \infty}\frac{n!}{n^{n}}\right)^{\frac{1}{n}}\right)$$
И това мога да го запиша така:
$$ ln(A)=ln\left(\left(\lim_{n \to \infty}\frac{n!}{n^{n}}\right)^{\frac{1}{n}}\right) \Rightarrow ln(A)=\lim_{n \to \infty}\left(ln\left(\frac{n!}{n^{n}}\right)^{\frac{1}{n}}\right)$$
От това му свойство на логаритъма: [tex]log_{a}b^{c}=clog_{a}b[/tex]:
$$ln(A)=\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{n}ln\left(\frac{n!}{n^{n}}\right)\right)$$
Да разгледаме аргумента на логаритъма:[tex]\frac{n!}{n^{n}}=\frac{1.2.3...(n-2).(n-1).n}{n.n.n...n.n.n}[/tex]
$$ln(A)=\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{n}ln\left(\frac{1.2.3...(n-2).(n-1).n}{n.n.n...n.n.n}\right)\right)$$
От това свойство:[tex]lnab=lna+lnb[/tex]
$$ln(A)=\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{n}\left(ln(\frac{1}{n})+ln(\frac{2}{n})+\frac{3}{n}+...+ln(\frac{n-1}{n})+ln(\frac{n}{n})\right)\right)$$
Сега тук е важно да кажа, че е СПОМЕНАТО като задача в 11 клас учебника когато се учеха граници на редици.
Та за коя да е функция:[tex]f(x)[/tex]:

area11.gif (4.16 KiB) Прегледано 692 пъти

(Картинката е само показно за разделение на правоъгълничета аз разглеждам функция, която заключва с абсцисата лице от хикс 0 до хикс 1)
Лицето на дадения участък под функция се намира с определения интеграл, да но какво прави този интеграл.
Разделяме участъка от 0 до 1 на абсцисата(ще видим защо по-късно) на [tex]n[/tex] правоъгълника, тогава ширината им ще бъде [tex]\frac{1}{n}[/tex] а височината едни вид (страната успоредна на ордината) е [tex]f(\frac{1}{n})[/tex] и лицето на едно от тези правоъгълничета(първото в случая) е : [tex]S_{1}=a.b=\frac{1}{n}.f(\frac{1}{n})[/tex]
Аналогично за второто [tex]S_{2}=\frac{1}{n}.f(\frac{2}{n})[/tex] така за всички [tex]n[/tex] правоъгълничета.
Лицето на търсената част под функцията е границата на сбора на всички правоъгълничета, когато [tex]n\to \infty[/tex] т.е. точно това е интеграла:
[tex]\lim_{n \to \infty}(S_{1}+S_{2}+...+S_{n-1}+S_{n})=\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{n}.f(\frac{1}{n})+\frac{1}{n}.f(\frac{2}{n})+...+\frac{1}{n}f(\frac{n-1}{n})+\frac{1}{n}f(\frac{n}{n})\right)=\int\limits_{0}^{1}f(n)dn[/tex]
Търсената граница я сведохме точно до този принцип демек можем да кажем:
$$ln(A)=\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{n}\left(ln(\frac{1}{n})+ln(\frac{2}{n})+\frac{3}{n}+...+ln(\frac{n-1}{n})+ln(\frac{n}{n})\right)\right)$$
В нашя случай това е точно същото само дето фунцкията е [tex]ln[/tex] т.е.
$$ln(A)=\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{n}\left(ln(\frac{1}{n})+ln(\frac{2}{n})+\frac{3}{n}+...+ln(\frac{n-1}{n})+ln(\frac{n}{n})\right)\right)=\int\limits_{0}^{1}ln(x)dx$$
$$ln(A)=\int\limits_{0}^{1}ln(x)dx=-1$$
$$ln(A)=-1 \Leftrightarrow ln(A)=ln(e^{-1}) \Rightarrow A=e^{-1}=\frac{1}{e}$$
$$A=\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n!}{n^{n}}\right)^{\frac{1}{n}}=\frac{1}{e}$$

[Петър Евгениев]

П.С. Понеже използвах наготово, че [tex]\int\limits_{0}^{1}ln(x)dx=-1[/tex], след като се разрових сред някои не толко приятни начини за пресмятане, открих този прекрасен начин:
От функцията [tex]y=ln(x)[/tex] се търси този участък:

exgraph4.jpg (25.71 KiB) Прегледано 670 пъти

[tex]\int\limits_{0}^{1}ln(x)dx=-1[/tex] е точно оранжевото над графиката на [tex]ln(x)[/tex], но ако я завъртим огледално спрямо [tex]y=x[/tex]
т.е разглеждаме обратната и функция [tex]e^{x}[/tex] другото оранжево между графиката на [tex]e^{x}[/tex] и абсцисата има същото лице като на първовто, но само трябва да се сетим да обърнем знака на инеграла, защото числовата стойност на този интеграл е същата с обратния знак.
$$\int\limits_{0}^{1}ln(x)dx=-\int\limits_{-\infty}^{0}e^{x}dx=-(e^{x}|_{-\infty}^{0})=-(e^{0}-e^{-\infty})=-(1-0)=-1$$

[Kre4etalo]

Друг подход към същата задача използва следната лема (интересно упражнение или директно следствие от известна теорема):
Нека [tex]a_n[/tex] е редица от положителни реални числа и съществува границата [tex]\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}[/tex] (различна от нула). Тогава съществува и границата [tex]\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}[/tex], като при това двете граници съвпадат.
Пресмятането на границата [tex]\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}[/tex] конкретно в тази задача е стандартно.

[pipi langstrump]

П.С. Понеже използвах наготово, че [tex]\int\limits_{0}^{1}ln(x)dx=-1[/tex], след като се разрових сред някои не толко приятни начини за пресмятане,

Елементарен интеграл, кое толкова му е неприятното?