Корени на уравнение

[123a]

Намерете всички корени на уравнението $8x(2x^2-1)(8x^4-8x^2+1)=1$, удовлетворяващи условието $0<x<1$

[Davids]

Интервалът на корените и видът на първите два множителя ми подсказват, че можем да положим $x = cos\alpha$.
Тогава получаваме $8cos\alpha.cos2\alpha.cos4\alpha = 1$
Оттам нататък става по-приятно, но наистина от телефона ми е тегаво да доразписвам, ще оставя на някой ентусиаст

[matst]

Умножава се по [tex]\sin \alpha[/tex] от двете страни.

[S.B.]

Интервалът на корените и видът на първите два множителя ми подсказват, че можем да положим $x = cos\alpha$.
Тогава получаваме $8cos\alpha.cos2\alpha.cos4\alpha = 1$
Оттам нататък става по-приятно, но наистина от телефона ми е тегаво да доразписвам, ще оставя на някой ентусиаст

Ще уважа Davids ( без да съм ентусиаст):
х = cos[tex]\alpha[/tex], x [tex]\in[/tex](0;1) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\alpha[/tex][tex]\in[/tex]( 0,[tex]\frac{\pi}{2}[/tex])[tex]\cup[/tex](-[tex]\frac{\pi}{2}[/tex];0)
8cos[tex]\alpha[/tex].cos2[tex]\alpha[/tex].cos4[tex]\alpha[/tex] = 1 [tex]\Leftrightarrow[/tex][tex]\frac{4}{sin\alpha}[/tex].2sin[tex]\alpha[/tex].cos[tex]\alpha[/tex]cos2[tex]\alpha[/tex].cos4[tex]\alpha[/tex] = 1 [tex]\Leftrightarrow[/tex][tex]\frac{2}{sin\alpha}[/tex].2sin2[tex]\alpha[/tex].cos2[tex]\alpha[/tex].cos4[tex]\alpha[/tex] = 1 [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\frac{2sin4\alpha.cos4\alpha}{sin\alpha}[/tex] = 1 [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\frac{sin8\alpha}{sin\alpha}[/tex] = 1 [tex]\Leftrightarrow[/tex] sin8[tex]\alpha[/tex] = sin[tex]\alpha[/tex] или sin8[tex]\alpha[/tex] - sin[tex]\alpha[/tex] = 0 [tex]\Leftrightarrow[/tex] 2 sin[tex]\frac{7\alpha}{2}[/tex]cos[tex]\frac{9\alpha}{2}[/tex] = 0 ;
cos[tex]\frac{9\alpha}{2}[/tex] = 0 [tex]\Rightarrow[/tex][tex]\frac{9\alpha}{2}[/tex] =+/- [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] ,[tex]\alpha_{1 }[/tex] = [tex]\frac{\pi}{9}[/tex] , [tex]\alpha_{2 }[/tex] = - [tex]\frac{\pi}{9}[/tex] принадлежат на ДМ ;
sin[tex]\frac{7\alpha}{2}[/tex] = 0 [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\alpha[/tex] = 0 и не принадлежи на ДМ;
х = cos([tex]\frac{\pi}{9}[/tex]) = cos(-[tex]\frac{\pi}{9}[/tex]) (Ако не съм оплескала нещо!!! )

[Genie_Almo]

Хммм...

$x=\frac{1}{2}$ е решение...

[S.B.]

Интервалът на корените и видът на първите два множителя ми подсказват, че можем да положим $x = cos\alpha$.
Тогава получаваме $8cos\alpha.cos2\alpha.cos4\alpha = 1$
Оттам нататък става по-приятно, но наистина от телефона ми е тегаво да доразписвам, ще оставя на някой ентусиаст

Ще уважа Davids ( без да съм ентусиаст):
х = cos[tex]\alpha[/tex], x [tex]\in[/tex](0;1) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\alpha[/tex][tex]\in[/tex]( 0,[tex]\frac{\pi}{2}[/tex])[tex]\cup[/tex](-[tex]\frac{\pi}{2}[/tex];0)
8cos[tex]\alpha[/tex].cos2[tex]\alpha[/tex].cos4[tex]\alpha[/tex] = 1 [tex]\Leftrightarrow[/tex][tex]\frac{4}{sin\alpha}[/tex].2sin[tex]\alpha[/tex].cos[tex]\alpha[/tex]cos2[tex]\alpha[/tex].cos4[tex]\alpha[/tex] = 1 [tex]\Leftrightarrow[/tex][tex]\frac{2}{sin\alpha}[/tex].2sin2[tex]\alpha[/tex].cos2[tex]\alpha[/tex].cos4[tex]\alpha[/tex] = 1 [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\frac{2sin4\alpha.cos4\alpha}{sin\alpha}[/tex] = 1 [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\frac{sin8\alpha}{sin\alpha}[/tex] = 1 [tex]\Leftrightarrow[/tex] sin8[tex]\alpha[/tex] = sin[tex]\alpha[/tex] или sin8[tex]\alpha[/tex] - sin[tex]\alpha[/tex] = 0 [tex]\Leftrightarrow[/tex] 2 sin[tex]\frac{7\alpha}{2}[/tex]cos[tex]\frac{9\alpha}{2}[/tex] = 0 ;
cos[tex]\frac{9\alpha}{2}[/tex] = 0 [tex]\Rightarrow[/tex][tex]\frac{9\alpha}{2}[/tex] =+/- [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] ,[tex]\alpha_{1 }[/tex] = [tex]\frac{\pi}{9}[/tex] , [tex]\alpha_{2 }[/tex] = - [tex]\frac{\pi}{9}[/tex] принадлежат на ДМ ;
sin[tex]\frac{7\alpha}{2}[/tex] = 0 [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\alpha[/tex] = 0 и не принадлежи на ДМ;
х = cos([tex]\frac{\pi}{9}[/tex]) = cos(-[tex]\frac{\pi}{9}[/tex]) (Ако не съм оплескала нещо!!! )

Е,да,знаех си!
sin[tex]\frac{7\alpha}{2}[/tex] = cos([tex]\frac{\pi}{2}[/tex] - [tex]\frac{7\alpha}{2}[/tex]) = 0 Тогава [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] - [tex]\frac{7\alpha}{2}[/tex] =[tex]\frac{\pi}{2}[/tex] или [tex]\alpha[/tex]= 0 [tex]\notin[/tex]DM и [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] - [tex]\frac{7\alpha}{2}[/tex] = - [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] или [tex]\frac{7\alpha}{2}[/tex] = [tex]\pi[/tex] от където [tex]\alpha[/tex] = [tex]\frac{2\pi}{7}[/tex][tex]\in[/tex]ДМ
Излиза,че корените са: [tex]x_{1 }[/tex] = cos[tex]\frac{\pi}{9}[/tex] ,[tex]x_{2 }[/tex] = cos(-[tex]\frac{\pi}{9}[/tex]), [tex]x_{3 }[/tex] = cos[tex]\frac{2\pi}{7}[/tex],като [tex]x_{1 }[/tex] = [tex]x_{2 }[/tex]

[S.B.]

Хммм...

$x=\frac{1}{2}$ е решение...

Абсолютно си прав!При непосредствено заместване се вижда,че [tex]\frac{1}{2}[/tex] е корен.Аз доразвих идеята на Davids.Мисля,че нямам грешка в тригонометричното уравнение,но кой знае...може и да греша някъде...

[Добромир Глухаров]

$D.M.:0<cos\alpha<1\Rightarrow\alpha\in\left(-\frac{\pi}{2}+2k\pi;2k\pi\right)\cup\left(2k\pi;\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)$

$sin\frac{7\alpha}{2}=0\Rightarrow\frac{7\alpha}{2}=k\pi\Rightarrow\alpha_k=\frac{2k\pi}{7}\to\alpha_{-2}=-\frac{4\pi}{7}\notin D.M.;\alpha_{-1}=-\frac{2\pi}{7}\in D.M.;\alpha_{0}=0\notin D.M.;\alpha_{1}=\frac{2\pi}{7}\in D.M.;\alpha_{2}=\frac{4\pi}{7}\notin D.M.$

$cos\frac{9\alpha}{2}=0\Rightarrow\frac{9\alpha}{2}=\frac{\pi}{2}+k\pi\Rightarrow\alpha_k=\frac{\pi+2k\pi}{9}\to\alpha_{-3}=-\frac{5\pi}{9}\notin D.M.;\alpha_{-2}=-\frac{3\pi}{9}=-\frac{\pi}{3}\in D.M.;\alpha_{-1}=-\frac{\pi}{9}\in D.M.;\alpha_{0}=\frac{\pi}{9}\in D.M.;\alpha_{1}=\frac{\pi}{3}\in D.M.;\alpha_{2}=\frac{5\pi}{9}\notin D.M.$

$x_1=cos\frac{2\pi}{7};x_2=cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2};x_3=cos\frac{\pi}{9}$