Граница на седмицата

[Петър Евгениев]

Да не стои заданието по "СТАТИСТИКА" като задача на седмицата, пускам една граница.
[tex]\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n+n^{2}+n^{3}+...+n^{n}}{1^{n}+2^{n}+3^{n}+...+n^{n}}\right)[/tex]

[Knowledge Greedy]

Изглежда интересна, но ... е лесна
Числителят е сума на геометрична прогресия, сл. [tex]n^1+n^2+...+n^n=n.\frac{n^n-1}{n-1}<n^{n-1}[/tex]
Знаменателят е полином на [tex]n[/tex] от степен [tex]n+1[/tex].
Следователно редицата, чиято граница търсим, е ограничена отгоре от нулева редица от вида [tex]\frac{1}{n^2}[/tex]
Отговор: 0.

[Davids]

Аз пък си помислих нещо такова:
$A = \frac{n + n^2 + n^3 + ... + n^n}{1^n + 2^n + 3^n + ... + n^n} = \frac{\cancel{n^n}(\frac{n}{n^n} + \frac{n^2}{n^n} + \frac{n^3}{n^n} + ... + 1)}{\cancel{n^n}[(\frac{1}{n})^n + (\frac{2}{n})^n + (\frac{3}{n})^n + ... + 1]} = \frac{\frac{1}{n^{n-1}} + \frac{1}{n^{n-2}} + \frac{1}{n^{n-3}} + ... + 1}{(\frac{1}{n})^n + (\frac{2}{n})^n + (\frac{3}{n})^n + ... + 1}$

И както е замязало, ми се струва, че излиза:
[tex]\lim_{n \to \infty}A = \frac{0 + 0 + 0 + ... + 1}{0 + 0 + 0 + ... + 1} = 1[/tex]

Явно нещо бъркам нейде, ако може някой да разясни какво ми убягва

[pal702004]

[tex]\lim_{n \to \infty}A = \frac{0 + 0 + 0 + ... + 1}{0 + 0 + 0 + ... + 1} = 1[/tex]

Явно нещо бъркам нейде, ако може някой да разясни какво ми убягва

Прекалено щедро нулираш в знаменателя. Предпоследното събираемо в знаменателя е

$\left(\frac{n-1}{n}\right)^n$ което при големи $n$ си е $e^{-1}$

Пред-предпоследното идва $e^{-2}$ и т.н май и там се получава геометрична прогресия...

Иииии, да границата е $1-\frac{1}{e}$

[grav]

Също така броя на събираемите расте, това че те клонят към нула може да не е достатъчно. Например

[tex]\overbrace{\left(\frac1n+\cdots\frac1n\right)}^{n-\text{събираеми}}=1[/tex]

По твойта логика

[tex]\left(\frac1n+\cdots\frac1n\right)\rightarrow (0+\cdots +0)=0[/tex]

[Петър Евгениев]

[tex]\lim_{n \to \infty}A = \frac{0 + 0 + 0 + ... + 1}{0 + 0 + 0 + ... + 1} = 1[/tex]

Явно нещо бъркам нейде, ако може някой да разясни какво ми убягва

Прекалено щедро нулираш в знаменателя. Предпоследното събираемо в знаменателя е

$\left(\frac{n-1}{n}\right)^n$ което при големи $n$ си е $e^{-1}$

Пред-предпоследното идва $e^{-2}$ и т.н май и там се получава геометрична прогресия...

Иииии, да границата е $1-\frac{1}{e}$

Точно така е замислена задачата, и точно това е отговора. Имаме победител
Ще пусна и аз решение все пак.
[tex]A=\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n+n^{2}+n^{3}+...+n^{n}}{1+2^{n}+3^{n}+...+n^{n}}\right)[/tex]
Можем да запишем така:[tex]A=\lim_{n \to \infty}\frac{\sum_{k=1}^{n }n^k}{\sum_{k=1}^{n }k^n}[/tex]
Ще изразя сумата в числителя така:
Понеже [tex]\lim_{n \to \infty}\frac{\sum_{k=1}^{n }n^k}{n^{n}}=\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n+n^{2}+n^{3}+...+n^{n}}{n^{n}}\right)=\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}+...+\frac{1}{n^{n-1}}\right)=1[/tex]
И вече може да изразя числителя [tex]A[/tex]. Става:
[tex]A=\lim_{n \to \infty}\frac{\sum_{k=1}^{n }n^k}{\sum_{k=1}^{n }k^n}=\lim_{n \to \infty}\frac{n^{n}}{\sum_{k=1}^{n }k^n}[/tex]
$$\frac{1}{A}=\lim_{n \to \infty}\frac{\sum_{k=1}^{n }k^n}{n^{n}}=\lim_{n \to \infty}\frac{1+2^{n}+3^{n}+...+n^{n}}{n^{n}}=\lim_{n \to \infty}\left(1+(\frac{n-1}{n})^{n}+(\frac{n-2}{n})^{n}+(\frac{n-3}{n})^{n}+...\right)$$
Или това е точно:
[tex]\frac{1}{A}=1+\frac{1}{e}+\frac{1}{e^{2}}+\frac{1}{e^{3}}+...=\frac{e}{e-1}[/tex]
[tex]\Rightarrow A=\frac{e-1}{e}[/tex]