Конкурсен изпит , СУ 22.07.1999 г.задача 4

[S.B.]

Спрямо правоъгълна координатна система Оxy са дадени точките A(2m,0) и B(0,m) ,където m > 1 е реално число.Правата t е допирателна към графиката на функцията f(x) = [tex]x^{2}[/tex] - 2x + 1 в точката T([tex]x_{0 }[/tex],f([tex]x_{0 }[/tex])).
a) Да се намерят стойностите на [tex]x_{0 }[/tex],за които правата t отсича от [tex]\triangle[/tex]OAB четриъгълник,около който може да се опише окръжност;
б) Да се намери радиуса на описаната около четриъгълника окръжност,ако лицето му е равно на [tex]\frac{11}{4}[/tex].

[S.B.]

Спрямо правоъгълна коорд.система Оxy: т.A(2m,0) и т.B(0,m) като m >1,реално,t - допирателна към графиката на
f(x) = [tex]x^{2}[/tex] - 2x + 1 в т.T([tex]x_{0 }[/tex],f([tex]x_{) }[/tex]));Търсим координатите на T,така,че t да отсича от [tex]\triangle[/tex]OAB четриъгълник около който може да се опише окръжност.Ако лицето на този четриъгълник е [tex]\frac{11}{4}[/tex] да се определи R на описаната окръжност.
Според геометричното значение на производната на f(x),допирателната в т.Т сключва с положителната посока на оста Ох ъгъл и стойността на производната в тази точка е равна на тангенса от този ъгъл;f(x) = [tex]x^{2}[/tex] - 2x + 1 е парабола,която се допира до абцисата в т.Q(1,0) и пресича ординатата в т.P(0,1)
I-ви случай:t X AB в т.N и OA в т.М;[tex]\angle[/tex]ТМА = [tex]\beta[/tex] тогава [tex]\angle[/tex]ОМN = 180[tex]^\circ[/tex] -[tex]\beta[/tex];Около отсечения четриъгълник МОBN може да се опише окръжност [tex]\Rightarrow[/tex][tex]\angle[/tex]ОBN = [tex]\beta[/tex] ;От [tex]\triangle[/tex]ОАB tg[tex]\beta[/tex] = [tex]\frac{OA}{OB}[/tex] = [tex]\frac{2m}{m}[/tex] или tg[tex]\beta[/tex] = 2;
f(x) = [tex]x^{2}[/tex] - x + 1 ,f'(х) = 2х -2 или f'([tex]x_{0 }[/tex] = 2.[tex]x_{0 }[/tex] - 2 = 2 ,от където [tex]x_{0 }[/tex] = 2,f([tex]x_{0 }[/tex]) = 1
Построявам TH[tex]\bot[/tex]OA,H[tex]\in[/tex]OA,тогава координатите на H(2,0);От [tex]\triangle[/tex]МНТ [tex]\rightarrow[/tex]tg[tex]\beta[/tex] = [tex]\frac{TH}{MH}[/tex] или [tex]\frac{1}{МН}[/tex] = 2 ,от където MH = [tex]\frac{1}{2}[/tex]
но Н е с кординати H(2,0) [tex]\Rightarrow[/tex] M([tex]\frac{3}{2}[/tex],0); [tex]S_{OMNB }[/tex] = [tex]S_{OAB }[/tex] - [tex]S_{MAN }[/tex] ; [tex]S_{OAB }[/tex] = [tex]\frac{2m.m}{2}[/tex] = [tex]m^{2}[/tex];
[tex]\triangle[/tex]OAB и [tex]\triangle[/tex]MAN са подобни [tex]\Rightarrow[/tex][tex]\frac{S_{MAN }}{S_{OAB }}[/tex] = [tex](\frac{AM}{AB})^{2}[/tex] ; AM = (2m - [tex]\frac{3}{2}[/tex]) , AB = [tex]\sqrt{4m^{2} + m^{2}}[/tex] = m[tex]\sqrt{5}[/tex] и тогава :
[tex]\frac{S_{MAN }}{m^{2}}[/tex] = [tex](\frac{2m -\frac{3}{2}}{m\sqrt{5}})^{2}[/tex] от където [tex]S_{MAN }[/tex] = [tex]\frac{(4m - 3)^{2}}{20}[/tex] ; [tex]S_{OANB }[/tex] = [tex]m^{2}[/tex] - [tex]\frac{(4m - 3)^{2}}{20}[/tex] = [tex]\frac{11}{4}[/tex] от където [tex]m_{1 }[/tex] = -8 <0 и [tex]m_{2 }[/tex] = 2
BM = 2R ([tex]\angle[/tex]BOM = [tex]\angle[/tex]MNB = 90[tex]^\circ[/tex]); По Питагор BM = [tex]\sqrt{BO^{2} + OM^{2}}[/tex] = [tex]\sqrt{4 + \frac{9}{4}}[/tex] = [tex]\frac{5}{4}[/tex], a R = [tex]\frac{5}{8}[/tex]

[Петър Евгениев]

Снимките и чертежите са направени от [tex]S.B.[/tex] аз само ги качвам, защото на нея не й дава да качва снимки.

I случай.JPEG (322.37 KiB) Прегледано 581 пъти

II случай.JPEG (332.68 KiB) Прегледано 581 пъти

[S.B.]

II случай: t не пресича AB
T([tex]x_{0 }[/tex],f([tex]x_{0 }[/tex])) e допирната точка на t с графиката на f(x) и t пресича ОА в т.М ; f'([tex]x_{0 }[/tex]) = tg[tex]\angle[/tex]TMA
Aко [tex]\angle[/tex]TMO = [tex]\beta[/tex] тогава [tex]\angle[/tex]ТМА = 180[tex]^\circ[/tex] - [tex]\beta[/tex] ; За отсечения четриъгълник МТАB [tex]\angle[/tex]TMA и [tex]\angle[/tex]TBA са срещулежащи [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\angle[/tex]TBA = [tex]\beta[/tex];Oт [tex]\triangle[/tex]OAB tg[tex]\beta[/tex] = 2 [tex]\Rightarrow[/tex] tg(180 - [tex]\beta[/tex]) = -2 и f'([tex]x_{0 }[/tex]) = 2[tex]x_{0 }[/tex] - 2 = -2 от където [tex]x_{0 }[/tex] = 0 ,а f([tex]x_{0 }[/tex]) = 1; Оказва се,че Т[tex]\equiv[/tex]P
Oт [tex]\triangle[/tex]OMT: tg[tex]\beta[/tex] = [tex]\frac{TO}{MO}[/tex] = 2 или [tex]\frac{1}{МО}[/tex] = 2 [tex]\Rightarrow[/tex] МО = [tex]\frac{1}{2}[/tex] ; [tex]S_{OMT }[/tex] = [tex]\frac{OM.OT}{2}[/tex] = [tex]\frac{1}{4}[/tex]
[tex]S_{BTMA }[/tex] = [tex]S_{AOB }[/tex] - [tex]S_{OMT }[/tex] или [tex]m^{2}[/tex] - [tex]\frac{1}{4}[/tex] = [tex]\frac{11}{4}[/tex] от където m = [tex]\sqrt{3}[/tex]
За [tex]\triangle[/tex] ТМА прилагам синусова теорема,като [tex]\angle[/tex]MAT = [tex]\alpha[/tex]: [tex]\frac{ТМ}{sin\alpha}[/tex] = 2R
по Питагор : MT = [tex]\sqrt{1 + \frac{1}{4}}[/tex] = [tex]\frac{\sqrt{5}}{2}[/tex] ; ТА = [tex]\sqrt{ТО^{2} + АО^{2}}[/tex] = [tex]\sqrt{1 + (2m\sqrt{3})^{2}}[/tex] = [tex]\sqrt{13}[/tex] и sin[tex]\alpha[/tex] = [tex]\frac{TO}{TA}[/tex] = [tex]\frac{\sqrt{13}}{13}[/tex]
И тогава [tex]\frac{ТМ}{sin\alpha}[/tex] = [tex]\frac{\sqrt{65}}{2}[/tex] или 2R = [tex]\frac{\sqrt{65}}{2}[/tex] , a R = [tex]\frac{\sqrt{65}}{4}[/tex]

[S.B.]

Специални благодарности на колегата Петър Евгениев,който ми помогна много,като "качи" чертежите от своя таблет,тъй като уви сайта така и не
пожела да приеме моя телефон! Още веднъж благодаря , Пепи!