Права в координатна система

[Genie_Almo]

През началото на правоъгълна координатна система минава права линия. С изключение на точката (0;0), всички останали точки с целочислени координати са във вътрешността на някакви кръгове. Кое е от следните твърдения е вярно?

а) Правата линия пресича някой от кръговете.

б) Правата линия може и да не пресече нито един кръг (ако е възможно, дайте обоснован пример).

[pal702004]

Права, минаваща през началото на коорд. система (с изключение на $x=0$ - тривиален случай) се задава с формулата $y=ax$
Ако $a$ е рационално, то правата ще минава през безброй много целочислени точки - тук всичко е ясно.
Ако $a$ е ирационално, правата няма да минава през точки с целочислени координати, но ще минава достатъчно близко, за да пресече коя да е окръжност с радиус $\epsilon>0$. При рационалните приближения $\frac y x$ на $a$

Както е известно, за подходящите дроби на $a$ е изпълнено $\left|\frac y x-a\right|\le \frac{1}{x^2}$

Така че правата ще пресече някои окръжности (стига да не са с нулев радиус)

[pal702004]

Разбира се, трябва да уточним какво означава "във вътрешността на някакви кръгове". При горното решение имам предвид, че целочислените точки са центрове на кръговете, и че кръговете имат фиксиран радиус. Иначе за всяка целочислена точка можем да измислим някаква окръжност, така че правата да не я пресече.

[Genie_Almo]

Да речем, че първо се задават окръжностите, след това се спуска правата. Според мен не е съществено дали точката е център или не - достатъчно е, че се явява център на някоя (нека да е предварително фиксирана) вътрешна за кръга окръжност. Подозирах, че може и решението да е лесно, но на мен ми убягваше. Може ли да те помоля за малко по-подробно разяснение, че да ми стане съвсем ясно!

Моля и някой от модераторите по преценка да премести темата на по-подходящо място!

[pal702004]

Права, минаваща през $(0;0)$ има вид $y=ax,\quad a \in \mathbb{R}$

Ако $a$ е рационално ($a=\frac p q,\quad p,q \in\mathbb{Z}$), то правата ще премине през безброй много целочислени точки (точки с цели координати)

$x=kq,y=kp,\quad k \in \mathbb{Z}$ и, ествествено, ще пресече всяка окръжност, която ги съдържа.

Нека $a$ е ирационално - тогава правата няма да премине през никоя целочислена точка, освен $(0;0)$

Но ще прениме колкото си искаме близко до безброй много целочислени точки.

Разстянието м/у правата $y=ax$ и целочислената точка $(q,p)$ е

$L=\frac{|aq-p|}{\sqrt{a^2+1}}$

и тук вече се намесват рационалните приближения. Съществуват безброй много цели $p,q$ за които $\frac p q \approx a$

В частност, при подходящите дроби от предния ми пост, имаме

$L=\frac{|aq-p|}{\sqrt{a^2+1}}=\frac{q\left|a-\frac p q\right|}{\sqrt{a^2+1}}<\frac{1}{q\sqrt{a^2+1}}$

Пример: нека правата е $y=\sqrt 2 x$. Тя ще премине много близко (и все по-близко) до точките:

$(2;3),(5;7),(12;17),(29;41)\cdots$

абе
$x_n=2x_{n-1}+x_{n-2}$

$y_n=2y_{n-1}+y_{n-2}$

[grav]

Така както е написано условието задачата е напълно непонятна. Какво означава в някакви кръгове? И кои точки с цели координати? Тези върху правата? Ако да, и те са във някакви кръгове, как може правата да не пресича тези кръгове?

!!!!!

[pal702004]

Така както е написано условието задачата е напълно непонятна. Какво означава в някакви кръгове? И кои точки с цели координати? Тези върху правата? Ако да, и те са във някакви кръгове, как може правата да не пресича тези кръгове?

!!!!!

Минахме през това село, разбрахме се че точките с целочислени координати са центрове на окръжности с фиксиран $r>0$
За рационални приближения е задачата, както я виждам.

[Genie_Almo]

Права, минаваща през $(0;0)$ има вид $y=ax,\quad a \in \mathbb{R}$

Ако $a$ е рационално ($a=\frac p q,\quad p,q \in\mathbb{Z}$), то правата ще премине през безброй много целочислени точки (точки с цели координати)

$x=kq,y=kp,\quad k \in \mathbb{Z}$ и, ествествено, ще пресече всяка окръжност, която ги съдържа.

Нека $a$ е ирационално - тогава правата няма да премине през никоя целочислена точка, освен $(0;0)$

Но ще прениме колкото си искаме близко до безброй много целочислени точки.

Разстянието м/у правата $y=ax$ и целочислената точка $(q,p)$ е

$L=\frac{|aq-p|}{\sqrt{a^2+1}}$

и тук вече се намесват рационалните приближения. Съществуват безброй много цели $p,q$ за които $\frac p q \approx a$

В частност, при подходящите дроби от предния ми пост, имаме

$L=\frac{|aq-p|}{\sqrt{a^2+1}}=\frac{q\left|a-\frac p q\right|}{\sqrt{a^2+1}}<\frac{1}{q\sqrt{a^2+1}}$

Пример: нека правата е $y=\sqrt 2 x$. Тя ще премине много близко (и все по-близко) до точките:

$(2;3),(5;7),(12;17),(29;41)\cdots$

абе
$x_n=2x_{n-1}+x_{n-2}$

$y_n=2y_{n-1}+y_{n-2}$

Благодаря, pal702004, супер си!

Тази задача ми изплува в съзнанието и реших да я публикувам. Беше ми попаднала случайно (преди 15-16 години най-малко), в някаква книжка я видях. Мисля, че беше в раздел "гъсти множества". Тогава не можах да я реша, та затова съм я запомнил, най-вероятно. Затрудни ме точно случаят $y=ax$, където $a \in (R\Q)$.

Условието беше нещо от сорта на (по памет го цитирам):

"Върху възел на целочислена решетка стои стрелец, а върху останалите възли има дървета. Стрелецът стреля - ще уцели ли дърво?"

И аз мисля, че е необходимо да се прецизира условието, затова го измених малко. Явно е можело да се справя и по-добре.

Благодаря още веднъж на pal702004 за подробното описание.

[drago]

Да, имаше такава книжка преди време. Май бяха поредица на библиотека Алеф. Авторът май беше Иван Тонов, не знам, или може би Л. Давидов.
Та по този въпрос и аз се сетих нещо горе-долу подобно (ама само горе-долу ):

Може ли в равнината да се разположат окръжности, така че всяка права да пресича поне една, но не повече от $100$ от тях?

Май да взена да я пусна като отделна тема.
viewtopic.php?f=10&t=21814