ПРЕДИЗВИКАТЕЛСТВО! ТЧ

[Math Fanatic]

Докажете, че за n - естествено [tex]3^{3n+2} + 5^{4n-3} + 7^{12n-7} + 13^{16n-13} + 17^{6n-5} + 19^{12n+5}[/tex] не може да бъде точен квадрат.

[Knowledge Greedy]

Едно поучение към младия ни колега Math Fanatic » Чет Юни 21, 2018 11:04 pm, относно използването редактора на математически текст.
Условието, което съдържа формули - примерно 3^{3n+2} + 5^{4n-3} + 7^{12n-7} + 13^{16n-13} + 17^{6n-5} + 19^{12n+5},
трябва да бъде заградено от [tex]\fbox{[тeх]}[/tex] в началото и [tex]\fbox{[/тeх]}[/tex] в края.

За по-бързо това става така. Първо маркираме текста.

Редактиране на математически текст 1.png (1.75 KiB) Прегледано 782 пъти

и след това натискаме бутона [tex]\fbox{[тeх]}[/tex] в десния горен ъгъл на панела.
Получава се

Редактиране на математически текст 2.png (2.02 KiB) Прегледано 782 пъти

След натискане на бутона [tex]\fbox{Прегледай}[/tex], на екрана се появява

[tex]3^{3n+2} + 5^{4n-3} + 7^{12n-7} + 13^{16n-13} + 17^{6n-5} + 19^{12n+5}[/tex]
Остава да бъде изпратено

[Genie_Almo]

Едно не особено оригинално решение ми хрумна:

Да допуснем, че $S^2=3^{3n+2} + 5^{4n-3} + 7^{12n-7} + 13^{16n-13} + 17^{6n-5} + 19^{12n+5}$

Нека да разгледаме поведението на шестте събираеми, по отделно, при деление на 10:

$3^0 \equiv 1 (mod 10)$
[tex]3^1 \equiv 3 (mod 10)[/tex]
[tex]3^2 \equiv 9 (mod 10)[/tex]
[tex]3^3 \equiv 7 (mod 10)[/tex]
[tex]3^4 \equiv 1 (mod 10)[/tex]
[tex]3^5 \equiv 3 (mod 10)[/tex]
[tex].................................[/tex]
[tex]5^0 \equiv 1 (mod 10)[/tex]
[tex]5^1 \equiv 5 (mod 10)[/tex]
[tex]5^2 \equiv 5 (mod 10)[/tex]
[tex]5^3 \equiv 5 (mod 10)[/tex]
[tex]5^4 \equiv 5 (mod 10)[/tex]
[tex]5^5 \equiv 5 (mod 10)[/tex]
[tex].................................[/tex]
[tex]7^0 \equiv 1 (mod 10)[/tex]
[tex]7^1 \equiv 7 (mod 10)[/tex]
[tex]7^2 \equiv 9 (mod 10)[/tex]
[tex]7^3 \equiv 3 (mod 10)[/tex]
[tex]7^4 \equiv 1 (mod 10)[/tex]
[tex]7^5 \equiv 7 (mod 10)[/tex]
[tex].................................[/tex]
[tex]13^0 \equiv 1 (mod 10)[/tex]
[tex]13^1 \equiv 3 (mod 10)[/tex]
[tex]13^2 \equiv 9 (mod 10)[/tex]
[tex]13^3 \equiv 7 (mod 10)[/tex]
[tex]13^4 \equiv 1 (mod 10)[/tex]
[tex]13^5 \equiv 3 (mod 10)[/tex]
[tex]...........................[/tex]
[tex]17^0 \equiv 1 (mod 10)[/tex]
[tex]17^1 \equiv 7 (mod 10)[/tex]
[tex]17^2 \equiv 9 (mod 10)[/tex]
[tex]17^3 \equiv 3 (mod 10)[/tex]
[tex]17^4 \equiv 1 (mod 10)[/tex]
[tex]17^5 \equiv 7 (mod 10)[/tex]
[tex]...........................[/tex]
[tex]19^0 \equiv 1 (mod 10)[/tex]
[tex]19^1 \equiv 9 (mod 10)[/tex]
[tex]19^2 \equiv 1 (mod 10)[/tex]
[tex]19^3 \equiv 9 (mod 10)[/tex]
[tex]19^4 \equiv 1 (mod 10)[/tex]
[tex]19^5 \equiv 9 (mod 10)[/tex]
[tex]...........................[/tex]

От тук се вижда, че най-големия период, през който се "извъртат" всички възможни последни цифри на шестте събираеми е 4 (през 4 последователни степенни показателя, последните цифри на всяко от шестте числа се повтарят). Това ни дава директно възможност, при разглеждане на остатъците на числото $n$ при деление на 4, точно да определим цифрата на единиците на сумата $S^2$. При непосредствена проверка, имайки предвид гореописаната периодика, откриваме че:

$S^2 \equiv 0 (mod 10)$ ,за $n=4k$
$S^2 \equiv 8 (mod 10)$ ,за $n=4k+1$
$S^2 \equiv 6 (mod 10)$ ,за $n=4k+2$
$S^2 \equiv 2 (mod 10)$ ,за $n=4k+3$

Оттук $n=4k+1$ и $n=4k+3$ отпадат, тъй като никой точен квадрат не може да има последна цифра 8 или 2.

Да разгледаме сега периодиката на остатъците при шестте събираеми при деление на 4:

$3^0 \equiv 1 (mod 4)$
[tex]3^1 \equiv 3 (mod 4)[/tex]
[tex]3^2 \equiv 1 (mod 4)[/tex]
[tex]3^3 \equiv 3 (mod 4)[/tex]
[tex]3^4 \equiv 1 (mod 4)[/tex]
[tex].................................[/tex]
[tex]5^0 \equiv 1 (mod 4)[/tex]
[tex]5^1 \equiv 1 (mod 4)[/tex]
[tex]5^2 \equiv 1 (mod 4)[/tex]
[tex]5^3 \equiv 1 (mod 4)[/tex]
[tex].................................[/tex]
[tex]7^0 \equiv 1 (mod 4)[/tex]
[tex]7^1 \equiv 3 (mod 4)[/tex]
[tex]7^2 \equiv 1 (mod 4)[/tex]
[tex]7^3 \equiv 3 (mod 4)[/tex]
[tex].................................[/tex]
[tex]13^0 \equiv 1 (mod 4)[/tex]
[tex]13^1 \equiv 1 (mod 4)[/tex]
[tex]13^2 \equiv 1 (mod 4)[/tex]
[tex]13^3 \equiv 1 (mod 4)[/tex]

[tex]...........................[/tex]
[tex]17^0 \equiv 1 (mod 4)[/tex]
[tex]17^1 \equiv 1 (mod 4)[/tex]
[tex]17^2 \equiv 1 (mod 4)[/tex]
[tex]17^3 \equiv 1 (mod 4)[/tex]
[tex]...........................[/tex]
[tex]19^0 \equiv 1 (mod 4)[/tex]
[tex]19^1 \equiv 3 (mod 4)[/tex]
[tex]19^2 \equiv 1 (mod 4)[/tex]
[tex]19^3 \equiv 3 (mod 4)[/tex]
[tex]...........................[/tex]

Най-големият период на повторяемост е две,което означава , че остатъка при деление на 4 на шестте числа (респ. на тяхната сума) зависи единствено от четността на степенните показатели. В нашия случай имаме $n=2m , m \epsilon N$, с което диретно можем да определим че:

[tex]3^{6m+2} \equiv 1 (mod 4)[/tex]
[tex]5^{8m-3} \equiv 1 (mod 4)[/tex]
[tex]7^{24m-7} \equiv 3 (mod 4)[/tex]
[tex]13^{32m-13} \equiv 1 (mod 4)[/tex]
[tex]17^{12m-5} \equiv 1 (mod 4)[/tex]
[tex]19^{24m+5} \equiv 3 (mod 4)[/tex]

Горното означва, че сумата на шестте събираеми, $S^2$ дава остатък 2 при деление на 4, което е противоречие - никой точен квадрат не дава такъв остатък. По-точно казано , всеки точен квадрат на цяло число е или нечетно число или се дели на 4.