Изчислете

[Петър Евгениев]

[tex]\int\limits_{0}^{2018\pi}(cosx)^{2^{3^{4^{.^{.^{.^{2018}}}}}}}(sinx)^{3^{4^{5^{.^{.^{.^{2018}}}}}}}dx[/tex]

[Петър Евгениев]

[tex]\int\limits_{0}^{2018\pi}(cosx)^{2^{3^{4^{.^{.^{.^{2018}}}}}}}(sinx)^{3^{4^{5^{.^{.^{.^{2018}}}}}}}dx[/tex]

Щом имаме [tex]четно^{полож.цяло.чис.}=четно \Rightarrow[/tex] степента на косинуса ще е четна със сигурност.
[tex]нечетно^{цяло.пол.чис.}=нечетно \Rightarrow[/tex] степента на синуса ще е нечетна.
[tex]\int\limits_{0}^{2018\pi}(cosx)^{a}(sinx)^{b}dx[/tex], където [tex]a[/tex]-четно, [tex]b[/tex]-нечетно
Ако успеем да направим подходяща субституция така,че границите на интеграла да бъдат огледални спрямо нулата, и докажем, че функцията на интегриране е нечетна, то тогава знаем ,че този интеграл има нулева стойност, демек, ако имаме интеграл от вида: [tex]\int\limits_{-a}^{a}f(x)dx[/tex], където [tex]f(-x)=-f(x)[/tex](т.е функцията е нечетна), то тогава знаем, че стойността на този интеграл е нулева.
Нека първо направим подходяща субституция: [tex]u=x-1009\pi \Rightarrow \int\limits_{-1009\pi}^{1009\pi}\left(cos(u+1009\pi)\right)^{a}\left(sin(u+1009\pi)\right)^{b}du[/tex]
Знаем, че [tex]cos(u+1009\pi)=-cosu[/tex] и [tex]sin(u+1009\pi)=-sinu[/tex]
[tex]\int\limits_{-1009\pi}^{1009\pi}(-cosu)^{a}(-sinu)^{b}du[/tex], тъй като [tex]a[/tex] е четно число ,то минуса от скобата на косинуса изчезва, и понеже [tex]b[/tex] е нечетно число минуса от скобата на синуса си остава минус и можем да го изкараме пред интеграла.
$$\int\limits_{-1009\pi}^{1009\pi}(-cosu)^{a}(-sinu)^{b}du=-\int\limits_{-1009\pi}^{1009\pi}(cosu)^{a}(sinu)^{b}du$$
Остана само да докажем ,че [tex](cosu)^{a}(sinu)^{b}[/tex] е нечетна функция.
[tex]f(u)=(cosu)^{a}(sinu)^{b} \Rightarrow f(-u)=(cos(-u))^{a}(sin(-u))^{b}=(cosu)^{a}(-sinu)^{b}[/tex], понеже [tex]b[/tex] е нечетно минуса от синуса излиза:
[tex]f(u)=-(cosu)^{a}(sinu)^{b}[/tex] и действително,че функцията[tex]f(u)=(cosu)^{a}(sinu)^{b} е нечетна т.еf(-u)=-f(u)=-(cosu)^{a}(sinu)^{b}[/tex], така, доказахме, че функцията на интегриране е нечетна и вече можем да кажем.
$$-\int\limits_{-1009\pi}^{1009\pi}(cosu)^{a}(sinu)^{b}du=0$$
Следователно стойността на нашия интеграл е нула.