Задача за окръжности

[green1672]

Окръжността w се допира вътрешно до описаната около триъгълника ABC окръжност в точката A , пресича страната AB в точката K и пресича страната BC . Правата CL е допирателна към w , като отсечката KL пресича страната BC в точка T . Докажете, че дължината на отсечката BT е равна на дължината на допирателната през B към w (на чертежа е означена с BM) .
Може ли някой да даде идея за решение?

[123a]

Ще предложа решение, ако някой колега има забележка, да сподели.

Първо да въведем понятието перпендикулярни окръжности.
Ако две окръжности се пресичат и ъгълът между допирателните им е прав, то окръжностите се наричат перпендикулярни и тези допирателни минават през центровете на окръжностите.

Нека продължим $MB$ до пресичането й с описаната около [tex]\triangle[/tex]$ABC$ в точка $G$ и нека центърът на окръжността $w$ е т. $O$
Нека построим окръжност $\alpha$ с радиус $MB$.Точка $M$ е пресечната на двете окръжности. $MB$ е допирателна към окръжността $w$ , а $OM$ е допирателна към окръжността $\alpha$. От това, че $OM$ $\bot$ $MB$, следва че окръжностите са перпендикулярни и допирателните минават през центровете им. И сега имаме $MB=BT$ като радиуси на окръжността $\alpha$

[fredi]

Не мога да разбера, защо МВ ще е равна на ВТ от това обяснение на задачата. Ако може да поясните малко по-подробно.

[123a]

Да го кажем така:

Нека построим окръжност с център точката В и радиус BT. Понеже допирателната към окръжността с център О минава през центъра на окъжността [tex]\alpha[/tex], от това следва,че М е пресечната точка на двете окръжности. И понеже ОМ е перпендикулярна на BM, следва че ОМ е допирателна към окръжността [tex]\alpha[/tex]. И от определението за перпендикулярни окръжности, следва че допирателните към двете окръжности минават през техните центрове и така MB се явява радиус на окръжността [tex]\alpha[/tex], но нали и BT e радиус, откъдето следва че BM=BT.

[fredi]

Благодаря много за бързият отговор. Значи построяваме окръжността α с радиус ВТ и център т.В и доказваме,че т.М е пресечна на окръжностите α и w, следователно ВТ=ВМ. Търсих в нета за перпендикулярни окръжности, но нищо не открих. Ще съм ти благодарен ако ме светнеш ти от къде го знаеш.

[123a]

Благодаря много за бързият отговор. Значи построяваме окръжността α с радиус ВТ и център т.В и доказваме,че т.М е пресечна на окръжностите α и w, следователно ВТ=ВМ. Търсих в нета за перпендикулярни окръжности, но нищо не открих. Ще съм ти благодарен ако ме светнеш ти от къде го знаеш.

https://math.tutorvista.com/geometry/or ... iew=simple

[fredi]

Oтново благодаря, но пак имам въпрос. Ако приемем, че построяваме окр.α(В, ВТ) - не трябва ли да докажем,че т.М - построена като допирателна от т.В към окр.w съвпада с точката в която окр.α пресича окр.w. Задачата ми е доста интересна и много ме мъчи, че не мога да я разбера. И да питам, защо построяваш т.G - къде го използваме в решението?

[123a]

Да построим и другата допирателна от В към окръжността w в точка Р . Тогава ако окръжностите се пресичат в точките М и Р, след като построихме окръжността [tex]\alpha[/tex] то тогава би следвало, че MD=DP, където D е пресечната точка на MP и OB. Което пък може да се докаже.

Построих G, защото бях почнал по друг начин, като доказах, че АМ е ъглополовяща в триъгълник ABG и така и си остана.