Задача...

[yassi]

Дадено е уравнението:

3+5.a+7.b=c
където a,b са цели неотрицателни числа.
Да се намери най-голямото естествено число с, за което уравнението няма решение.

[pal702004]

При естествени взаимнопрости $a,b$ най-голямото ествествено число $c$, за което уравнението
$ax+by=c$
няма решения в цели неотрицателни $x,y$ е
$c=ab-a-b$

Тук, кой знае защо, трябва да работим с $c-3$

[yassi]

При естествени взаимнопрости $a,b$ най-голямото ествествено число $c$, за което уравнението
$ax+by=c$
няма решения в цели неотрицателни $x,y$ е
$c=ab-a-b$

Тук, кой знае защо, трябва да работим с $c-3$

Не разбрах как стигна до това :
с=а.в-а-в
Нооо за изненада се получава верния отговор.
с=5.7-5-7=23
И понеже сте махнали 3 от оригиналното уравнение се получава 23+3=26
26 е най-голямото естествено число за което горното уравнение няма решение.
За с=27,28,29,30,,,,,, винаги има цели неотрицателни а и в

Тази задачка е за 5-ти клас и аз просто я превърнах в уравнение.

Една ламя има три глави. Ако изяде юнак и порастват още 5 глави. Ако пийне жива вода и поникват нови 7 глави. Ламята не може да губи глави. Кое е най-голямото естествено число, което не може да е брой на главите на ламята?


Аз я реших по друг начин. Отг. е 26

[drago]

...Не разбрах как стигна до това :
с=а.в-а-в
Нооо за изненада се получава верния отговор.

Потърси в нета: Chicken McNugget theorem.

[yassi]

...Не разбрах как стигна до това :
с=а.в-а-в
Нооо за изненада се получава верния отговор.

Потърси в нета: Chicken McNugget theorem.

Много хубаво решение!
Всъщност не ми трябва да търся в нета. Както казах вече я бях решил, А не виждам някакво друго решение.

[Павел]

Даден е равнобедрен триъгълник ABC с основа AB = 12 см . Ако височината CD ( D принадлежи на AB ) на триъгълник ABC е равна на отсечката , съединяваща точка D и средата на бедрото BC , то да се намери лицето на триъгълника .

[emil3993]

Система с три неизвестни [tex]\angle[/tex]CAB= [tex]\angle[/tex]ABC=[tex]\alpha[/tex], CD=x=DP, P среда на CB, AC=BC=2y, AD=CB=6, CP=BP=y, триъгълник ABC-косинусова теорема, тръгълник BDP косинусова теорема, триъгълник ADC изразяваш cos[tex]\alpha[/tex],
[tex](2y)^2=(2y)^2+12^2-2*2y*12*cos\alpha[/tex]
[tex]x^2=y^2+6^2-2*y*6*cos\alpha[/tex]
[tex]cos\alpha=\frac{6}{2y}[/tex]
Sabc=[tex]\frac{CD*AB}{2}[/tex]
Още една възможност: Питагорова теорема за ADC
[tex]x^2+6^2=(2y)^2[/tex]

[Павел]

Четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност с диаметър AC . Ако ъгъл BAD е равно на 60 градуса и четириъгълникът може да се опише около окръжност с радиус 1 , то намерете лицето на ABCD .

[Евва]

4[tex]\sqrt{3}[/tex] ли е отговора ?

[Павел]

не ( 2*корен от 3 ( 2 + корен от 3 ) ) / 3 това е отговора

[emil3993]

Четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност с диаметър AC . Ако ъгъл BAD е равно на 60 градуса и четириъгълникът може да се опише около окръжност с радиус 1 , то намерете лицето на ABCD .

http://www.solemabg.com/SamGChetiri1.htm
Използваш свойства на вписан четириъгълник и описан четириъгълник.
Теорема на Птолемей
ъгъл A+ъгъл C=180
ъгъл B+ъгъл D=180
AB+CD=BC+AD
Sabcd=(d1*d2singama)/2
gama=ъгъл AOB
r=1
DH=2r=h=2*1=2
триъгълник ADH тригонометрия
sin60=DH/AD
sin30=AH/AD
AD=x
AH=y
HB=z
x,y си ги намерил
система с две неизвестни DB(d1), z
триъгълник cosT ABD
[tex]DB^2=x^2+(y+z)^2-2*x*(y+z)cos60[/tex]
триъгълник пит Т HBD
[tex]r^2+z^2=2^2+z^2=DB^2[/tex]
понатам sin T ABD
[tex]\frac{DB}{sin60}=\frac{AD}{sinABD}[/tex]
Знаеш всички страни и ъгли на триъгълник ABD
и започваш да намирираш хорди, страни, вписани ъгли.
може още cosT или sinT
трябва да намериш всички страни или другия диагонал
S=pr
gama=ъгъл ACB=ъгъл ADB=дъга AB/2

[Павел]

не ми излиза отговора

[Павел]

Нахален съм и то многоо . обаче сякак е въртях . почнах я и за z получавам отрицателно число
как го получих ми от питагорова теорема за триъгълник DHB И от косинусова теорема за ADB
AH получавам 2* крен от 3 / 3
А за AD = 4 *корен от 3 / 3

[emil3993]

Системата не е съвместима
4=4
Ще се прави друга система
[tex]x=\frac{4}{\sqrt{3}}[/tex]
[tex]y=\frac{2}{\sqrt{3}}[/tex]

[Павел]

как коя ще е системата

[emil3993]

[tex]\angle DBA=\beta[/tex]
триъгълник cosT ABD
за [tex]x^2=DB^2+(y+z)^2-2*DB*(y+z)cos\beta[/tex]
триъгълник тригонометрия HBD
[tex]cos\beta=\frac{z}{DB}[/tex]
триъгълник sin T ABD
[tex]\frac{DB}{sin60}=\frac{x}{sin\beta}[/tex]
[tex]sin^2\beta+cos^2\beta = 1[/tex]
[tex]cos\beta=\sqrt{1-sin^2\beta}[/tex]

[emil3993]

Извинявай това не е вярно, височината не е 2 см, ще помисля още

[emil3993]

AO,CO,BO ъглополовящи
Центърът на вписаната в четириъгълник окръжност лежи на пресечната точка на ъглополовящите му.
r=1
ъгъл DAB =60
вписан четириъгълник:
ъгъл A+ъгъл C = 180
триъгълник APO
tg60=AP/OP
две допирателни към окръжност през точка вън от окръжността
NA=AP=tg60*OP=[tex]\sqrt{3}[/tex]
sin30=OP/AO
AO=OP/sin30=1/(1/2)=2
или
триъгълник COK
tg30=CK/OK
MC=CK=tg30*OK=[tex]\sqrt{3}/3[/tex]
sin60=OK/CO
[tex]CO=OK/sin60=1/(\sqrt{3}/2)=2/\sqrt{3}[/tex]
DM=DN=x
KB=PB=y
триъгълник AOB cosT
[tex]OB^2=AO^2+AB^2-2AO*AB*cos30[/tex]
или
триъгълник COB cosT
[tex]OB^2=CO^2+CB^2-2CO*CB*cos60[/tex]


[tex]OB^2=2^2+(\sqrt{3}+y)^2-2*2*(\sqrt{3}+y)*cos30[/tex]
или
[tex]OB^2=(\frac{2}{\sqrt{3}})^2+(\sqrt{3}+y)^2-2*\frac{2}{\sqrt{3}}*(\sqrt{3}+y)*cos60[/tex]
триъгълник OPB:пит т
[tex]r^2+y^2=OB^2[/tex]
Намираш OB и y
описан четириъгълник:
след това AB+CD=CB+DA
намираш x
Имаш всички страни
Лице на описан четириъгълник
S=p*r
...

[Евва]

АС е диаметър [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]ABC=[tex]\angle[/tex]ADC=90[tex]^\circ[/tex]

Скрит текст: покажи

Мисля,че последния чертеж не е верен.Аз построих ABCD като AB=AD ;BC=DC;[tex]\angle[/tex]BAD=60[tex]^\circ[/tex];[tex]\angle[/tex]BCD=120[tex]^\circ[/tex];

[tex]K_{2 }[/tex]([tex]O_{2 }[/tex];R)-описана окр. ;[tex]K_{1 }[/tex]([tex]O_{1 }[/tex];r=1)-вписана окр.[tex]\Rightarrow[/tex]т.[tex]О_{1 }[/tex] лежи на ъглопол.на [tex]\angle[/tex]BAD т.е. [tex]\angle[/tex]BAC=[tex]\angle[/tex]DAC=30[tex]^\circ[/tex] ,
също [tex]\angle[/tex]BCA=[tex]\angle[/tex]DCA=60[tex]^\circ[/tex]
[tex]\triangle[/tex]АВС-правоъг.с ъгъл 30[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] ВС=[tex]\frac{АС}{2}[/tex] т.е. ВС=[tex]\frac{2R}{2}[/tex] ; BC=R (1)

cos 30[tex]^\circ[/tex]=[tex]\frac{AB}{AC}[/tex] ; [tex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]=[tex]\frac{AB}{2R}[/tex] ; AB=R[tex]\sqrt{3}[/tex] (2)
[tex]\triangle[/tex]АН[tex]О_{1 }[/tex]- правоъг.с ъгъл 30[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] Н[tex]О_{1 }[/tex]=[tex]\frac{АО_{1 }}{2}[/tex] ; 1=[tex]\frac{АО_{1 }}{2}[/tex] ; А[tex]О_{1 }[/tex]=2 (3)
([tex]\triangle[/tex]АН[tex]О_{1 }[/tex]) [tex]1^{2}[/tex]+[tex]АН^{2}[/tex]=[tex]2^{2}[/tex] ; АН=[tex]\sqrt{3}[/tex] (4)
Разглеждаме четириъг. НВЕ[tex]О_{1 }[/tex] ([tex]О_{1 }[/tex]Е е височина в [tex]\triangle[/tex]ВС[tex]О_{1 }[/tex] ; т.Н,т.Е са допирните точки м/у [tex]К_{1 }[/tex] и АВ,ВС)
[tex]\angle[/tex][tex]О_{1 }[/tex]НВ=[tex]\angle[/tex]НВЕ=[tex]\angle[/tex]ВЕ[tex]О_{1 }[/tex]=90[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]Е[tex]О_{1 }[/tex]Н=90[tex]^\circ[/tex] т.е. НВЕ[tex]О_{1 }[/tex] е правоъгълник;ВН=ВЕ (допирателни) [tex]\Rightarrow[/tex]
НВЕ[tex]О_{1 }[/tex] е квадрат т.е. ВН=[tex]О_{1 }[/tex]Н
АВ-АН=1 ; R[tex]\sqrt{3}[/tex]-[tex]\sqrt{3}[/tex]=1 ; R=[tex]\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}[/tex] (5)

S(ABCD)=2S(ABC)=2.[tex]\frac{AC^{2}.sin30^\circ.sin60^\circ}{2.sin90^\circ}[/tex]=[tex]\frac{2(2R)^{2}.\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}}{2.1}[/tex] (от (5))=

=[tex]\frac{2.4(\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}})^{2}.\sqrt{3}}{2.2.2}[/tex]=[tex]\frac{(1+2\sqrt{3}+3)\sqrt{3}}{3}[/tex]=

[tex]\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}.\sqrt{3}}{3}[/tex]=[tex]\frac{2\sqrt{3}(2+\sqrt{3})}{3}[/tex]

[emil3993]

АС е диаметър [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]ABC=[tex]\angle[/tex]ADC=90[tex]^\circ[/tex]

Скрит текст: покажи

Мисля,че последния чертеж не е верен.Аз построих ABCD като AB=AD ;BC=DC;[tex]\angle[/tex]BAD=60[tex]^\circ[/tex];[tex]\angle[/tex]BCD=120[tex]^\circ[/tex];

[tex]K_{2 }[/tex]([tex]O_{2 }[/tex];R)-описана окр. ;[tex]K_{1 }[/tex]([tex]O_{1 }[/tex];r=1)-вписана окр.[tex]\Rightarrow[/tex]т.[tex]О_{1 }[/tex] лежи на ъглопол.на [tex]\angle[/tex]BAD т.е. [tex]\angle[/tex]BAC=[tex]\angle[/tex]DAC=30[tex]^\circ[/tex] ,
също [tex]\angle[/tex]BCA=[tex]\angle[/tex]DCA=60[tex]^\circ[/tex]
[tex]\triangle[/tex]АВС-правоъг.с ъгъл 30[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] ВС=[tex]\frac{АС}{2}[/tex] т.е. ВС=[tex]\frac{2R}{2}[/tex] ; BC=R (1)

cos 30[tex]^\circ[/tex]=[tex]\frac{AB}{AC}[/tex] ; [tex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]=[tex]\frac{AB}{2R}[/tex] ; AB=R[tex]\sqrt{3}[/tex] (2)
[tex]\triangle[/tex]АН[tex]О_{1 }[/tex]- правоъг.с ъгъл 30[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] Н[tex]О_{1 }[/tex]=[tex]\frac{АО_{1 }}{2}[/tex] ; 1=[tex]\frac{АО_{1 }}{2}[/tex] ; А[tex]О_{1 }[/tex]=2 (3)
([tex]\triangle[/tex]АН[tex]О_{1 }[/tex]) [tex]1^{2}[/tex]+[tex]АН^{2}[/tex]=[tex]2^{2}[/tex] ; АН=[tex]\sqrt{3}[/tex] (4)
Разглеждаме четириъг. НВЕ[tex]О_{1 }[/tex] ([tex]О_{1 }[/tex]Е е височина в [tex]\triangle[/tex]ВС[tex]О_{1 }[/tex] ; т.Н,т.Е са допирните точки м/у [tex]К_{1 }[/tex] и АВ,ВС)
[tex]\angle[/tex][tex]О_{1 }[/tex]НВ=[tex]\angle[/tex]НВЕ=[tex]\angle[/tex]ВЕ[tex]О_{1 }[/tex]=90[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]Е[tex]О_{1 }[/tex]Н=90[tex]^\circ[/tex] т.е. НВЕ[tex]О_{1 }[/tex] е правоъгълник;ВН=ВЕ (допирателни) [tex]\Rightarrow[/tex]
НВЕ[tex]О_{1 }[/tex] е квадрат т.е. ВН=[tex]О_{1 }[/tex]Н
АВ-АН=1 ; R[tex]\sqrt{3}[/tex]-[tex]\sqrt{3}[/tex]=1 ; R=[tex]\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}[/tex] (5)

S(ABCD)=2S(ABC)=2.[tex]\frac{AC^{2}.sin30^\circ.sin60^\circ}{2.sin90^\circ}[/tex]=[tex]\frac{2(2R)^{2}.\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}}{2.1}[/tex] (от (5))=

=[tex]\frac{2.4(\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}})^{2}.\sqrt{3}}{2.2.2}[/tex]=[tex]\frac{(1+2\sqrt{3}+3)\sqrt{3}}{3}[/tex]=

[tex]\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}.\sqrt{3}}{3}[/tex]=[tex]\frac{2\sqrt{3}(2+\sqrt{3})}{3}[/tex]

Хубаво е да има хора, които разбират от математика, моето решение е, ако AC не е диаметър, дано да е вярно.

[Павел]

Може ли чертеж
не мога да го направя едновременно да опиша и да впиша окръжността или тока О1 съвпада с точка О 2 друг начин не виждам за да сторя чертежа

[Евва]

Не мога да пращам чертежи,т.[tex]О_{1 }[/tex] не съвпада с т.[tex]О_{2 }[/tex].
Първо построй правоъг.[tex]\triangle[/tex]АВС с [tex]\angle[/tex]ВАС=30[tex]^\circ[/tex] и [tex]\angle[/tex]АВС=90[tex]^\circ[/tex],построй правоъг.[tex]\triangle[/tex]ACD с [tex]\angle[/tex] CAD=30[tex]^\circ[/tex] и [tex]\angle[/tex]CDA=90[tex]^\circ[/tex].Така получаваме четириъг.ABCD,т.[tex]О_{2 }[/tex] е среда на отсечката АС.
Точка [tex]О_{1 }[/tex] ще намериш като построиш две ъглополовящи (на [tex]\angle[/tex]BAD и [tex]\angle[/tex]ABC) Там където се пресекат ъглополовящите,там е т.[tex]О_{1 }[/tex] .

[Павел]

АС - ъглополовяща ли е на ъгъл ВАД

[Евва]

Точно така.,точките А,[tex]О_{1 }[/tex],[tex]О_{2 }[/tex],С-лежат на една отсечка.

[Петър Евгениев]

rsz_untitled.png (45.45 KiB) Прегледано 913 пъти

Не съм чел решенията само по условието го направих чертежа като не е много много точен.