Намерете отношението

[ева]

Триъгълник АВС е правоъгълен ([tex]\angle[/tex]ВСА=90[tex]^\circ[/tex]) Точка Р лежи на отсечката АВ,като АР:РВ=1:2 ,
точка Q лежи на отсечката ВС,като BQ:CQ=1:2 .Означаваме с К пресечната точка на правата PQ с медианата СМ .
(т.М-лежи на отс.АВ) Намерете отношението,в което точка К дели медианата СМ.

Отговор 8:1

[123a]

Една теорема на Менелай и всичко е ок.

$AP=x, BP=2x, BQ=y, QC=2y$

$PM=\frac{x}{2}$

Прилагаме Теоремата на Менелай за триъгълник МВС и правата PQ

[tex]\frac{BP}{PM}.\frac{KM}{KC}.\frac{CQ}{QB}=1=>\frac{2}{\frac{1}{2}}.\frac{KM}{KC}.\frac{2}{1}=1=>\frac{KM}{KC}=\frac{1}{8}[/tex]

[ева]

А как бихте я решили без да използвате теоремата на Менелай ?

В кой клас се учи тази теорема ?

[aifC]

9-ти клас би трябвало.

[123a]

А как бихте я решили без да използвате теоремата на Менелай ?

В кой клас се учи тази теорема ?

[tex]\frac{S_{PKM}}{S_{AMC}}=\frac{KM}{3MC}=>\frac{S_{PKM}}{S_{ABC}}=\frac{KM}{6MC}(1)[/tex]

$S_{PBQ}=S_{ABC}.\frac{2}{9} (2)$

От друга страна $\frac{S_{PKM}}{S_{PBQ}}=\frac{PM.PK}{PQ.BP}=\frac{1}{4}.\frac{PK}{PQ}(3)$

От $(1)$, $(2)$ и $(3)$ следва, че $\frac{S_{ABC}.KM.9}{6MC.2S_{ABC}}=\frac{1}{4}.\frac{PK}{PQ}=>\frac{KM}{MC}=\frac{1}{3}.\frac{PK}{PQ} (4)$

Също така $S_{BPC}=\frac{2}{3}.S_{ABC}$ и $S_{PMC}=\frac{1}{6}.S_{ABC}$ и $S_{CPQ}=\frac{4}{9}.S_{ABC}$

Имаме $\frac{S_{PKC}}{S_{PMK}}=\frac{CK}{MK}$ Тук заместваме $(1)$ и получаваме, че $S_{PKC}=\frac{S_{ABC}.CK}{6.MC}$

И $\frac{S_{PKC}}{S_{CPQ}}=\frac{S_{ABC}.CK.9}{6.MC.4.S_{ABC}}=\frac{3}{8}.\frac{CK}{MC}$, но имаме също така $\frac{S_{PKC}}{S_{CPQ}}=\frac{PK}{PQ}$

От последното получаваме, че $\frac{PK}{PQ}=\frac{3}{8}.\frac{CK}{MC}$ Връщаме се в $(4)$ и заместваме и получаваме

$\frac{KM}{MC}=\frac{1}{3}.\frac{3}{8}.\frac{CK}{MC}$. Оттук лесно се вижда, че $\frac{KM}{KC}=\frac{1}{8}$

[Knowledge Greedy]

Да разположим тежест [tex]4[/tex] в точка [tex]A[/tex] и [tex]2[/tex] в точка [tex]B[/tex].

Статика 1.png (4.21 KiB) Прегледано 971 пъти

Центърът на тежестта [tex]^{\ast}[/tex] на системата от материални точки [tex]\left \{4A;\,\ 2B \right \}[/tex] е точка [tex]6P[/tex].

Разглеждаме отсечката [tex]BC[/tex]. Краищата и превръщаме в материални точки, поставяйки тежест [tex]1[/tex] в точка [tex]C[/tex] и тежест [tex]2[/tex] в точка [tex]B[/tex].

Статика 2.png (4.11 KiB) Прегледано 971 пъти

Центърът на тежестта на системата от материални точки [tex]\left \{1C;\,\ 2B \right \}[/tex] е точка [tex]3Q[/tex].

На края да разгледаме системата от материални точки [tex]\Sigma \left \{4A;\,\ 2B+2B; \,\ 1C \right \}[/tex], която е обединение на двете системи.

Статика 3.png (4.79 KiB) Прегледано 971 пъти

Нейният център на тежестта е точка [tex]9K[/tex], която забележете колко естествено се получава по два независими начина.
Първият е като център на системата от материални точки [tex]\Sigma_1= \left \{1C; \,\ 8M \right \}[/tex] .
Вторият е като център на системата от материални точки [tex]\Sigma_2= \left \{6P; \,\ 3Q \right \}[/tex] .
И това е така, защото и двете системи са еквивалентни на системата [tex]\Sigma \left \{4A;\,\ 4B; \,\ 1C \right \}[/tex]
Извод:
Точката [tex]K[/tex] дели [tex]CM[/tex] в отношение [tex]CK:KM=8:1[/tex]
______________
[tex]^{\ast}[/tex] Навярно физиците ще ни потърсят отговорност за по-коректен език.
Трябва да казваме център на масите.
______________
Методът е страхотен, нали? Прилича на Smart-джаджа. Лъскава, работи, има ефект, ама не знаеш как и колко ѝ издържат батериите.

[ева]

Оригиналното решение на задачата е чрез вектори.
Пуснах я ,защото много усукано и дълго ми се видя това решение.
И двете решения на 123а са по-лесни и по-кратки.
Ще се радвам,ако някой успее да я реши (по свой начин) чрез вектори .

[DekataBG]

Ето решение с вектори.
Определяме векторна база:[tex]\vec{CA}=\vec{b} , \vec{CB}=\vec{a}[/tex]
И нека [tex]CK=xCM и QK=yQP\Rightarrow KP=(1-y)QP[/tex]
[tex]\vec{CK}=x\vec{CM}=\frac{1}{2}x(\vec{CA}+\vec{CB})=\frac{1}{2}x(\vec{a}+\vec{b})[/tex]
от [tex]\triangle CQP :[/tex] [tex]\vec{CK}=y\vec{CP}+(1-y)\vec{CQ}=\frac{y}{3}(2\vec{CA}+\vec{CB})+\frac{2}{3}(1-y)\vec{CB}[/tex]
[tex]\vec{CK}=\frac{y}{3}(2\vec{b}+\vec{a)+\frac{2}{3}(1-y)\vec{a}[/tex] Това не знам защо не иска да се преобразува
[tex]\Rightarrow \frac{1}{2}x(\vec{a}+\vec{b})=\frac{y}{3}(2\vec{b}+\vec{a})+\frac{2}{3}(1-y)\vec{a} |.6[/tex]
[tex]3x(\vec{a}+\vec{b})=2y(2\vec{b}+\vec{a})+4\vec{a}(1-y)[/tex]
[tex]3x\vec{a}+3x\vec{b}-4y\vec{b}-2y\vec{a}-4\vec{a}+4y\vec{a}=\vec{0}[/tex]
[tex]\vec{a}(3x-2y-4+4y)+\vec{b}(3x-4y)=\vec{0}[/tex]
[tex]\vec{a}(3x+2y-4)+\vec{b}(3x-4y)=\vec{0}[/tex]
[tex]\Rightarrow 3x+2y-4=3x-4y(=0)\Leftrightarrow 6y-4=0 \Leftrightarrow y=\frac{4}{6}[/tex]
[tex]3x-4y=0 \Leftrightarrow 3x-4.\frac{4}{6}=0 \Leftrightarrow 3x-\frac{8}{3}=0 \Rightarrow 9x=8 \Rightarrow x=\frac{8}{9}\Rightarrow CK:KM=8:1[/tex]

[inveidar]

Ето елементарно решение с теоремата на Талес. Както сте забелязали, условието за прав ъгъл при върха С е напълно излишно.
Построяваме [tex]ML||PQ[/tex].

4ert2.png (28.14 KiB) Прегледано 940 пъти

[Maximianus Herculius]

Ето решение с вектори.
Определяме векторна база: ...[tex]\vec{CK}=\frac{y}{3}(2\vec{b}+\vec{a)+\frac{2}{3}(1-y)\vec{a}[/tex] Това не знам защо не иска да се преобразува ... CK:KM=8:1

Заради червената фигурна скоба
[tеx]\vec{CK}=\frac{y}{3}(2\vec{b}+\vec{a})+\frac{2}{3}(1-y)\vec{a}[/tеx]

[tex]\vec{CK}= \frac{y}{3}(2\vec{b}+ \vec{a})+\frac{2}{3}(1-y) \vec{a}[/tex]

[Сийка]

Страната bn на правилен n - ъгълник вписан в окръжност с радиус R се пресмята по формулата bn равно на 2* R*sin 180 / n . Намерете страната на равностранен триъгълник вписан в окръжност с радиус R .