Хо-хо-хо система :)

[Петър Евгениев]

Решете системата, ако [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] са реални числа и [tex]x\in(0;1), y\in(0;1)[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} \frac{1-\sqrt{1-x^{2}}}{x}+\frac{2y}{1+\sqrt{1-y^{2}}+y}=1 \\ 25(1-y^{2})=41-40\sqrt{1-x^{2}} \end{array}[/tex]

[KOPMOPAH]

Тези $1-x^2$ и другите, в комбинация с $x \in (0;1)$ и $y \in (0;1)$ много ме изкушават да положа $x=\sin \alpha$, $y=\sin \beta$ и после с универсалната субституция чрез тангенс на половин ъгъл да се получат някакви по-човешки изрази. Ще пробвам, като се докопам до компютъра, че на таблета си е мъка.

ПП. Хо-хо-хо, нелоша система

[Петър Евгениев]

Тези $1-x^2$ и другите, в комбинация с $x \in (0;1)$ и $y \in (0;1)$ много ме изкушават да положа $x=\sin \alpha$, $y=\sin \beta$ и после с универсалната субституция чрез тангенс на половин ъгъл да се получат някакви по-човешки изрази. Ще пробвам, като се докопам до компютъра, че на таблета си е мъка.

ПП. Хо-хо-хо, нелоша система

6-то чувство или опит само ти си знаеш

[KOPMOPAH]

Интуицията е най-краткият път. Но не винаги я има. Остава стратегията в комбинация с опита, тъй като знанието без тях е безполезно.

[ptj]

[tex]40\sqrt{1-x^2}=25y^2+16[/tex]

Тъй като [tex]x,y[/tex] са от [tex](0;1)[/tex] e логично да предположим, че ако има рационално решение , то
[tex]y=\frac{t}{5}[/tex] и [tex]x=\frac{z}{5}[/tex].

Т.е. [tex]8\sqrt{25-z^2}=t^2+16[/tex]

Oчевидно [tex]t=4, z=3[/tex] e решение, а съответно [tex](\frac{3}{5};\frac{4}{5})[/tex] кандидат за решение на условието на задачата.

Наистина, то изпълнява и първото уравнение в изходната система (условието).


Остава да се покаже, че е единствено...

[Петър Евгениев]

Решете системата, ако [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] са реални числа и [tex]x\in(0;1), y\in(0;1)[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} \frac{1-\sqrt{1-x^{2}}}{x}+\frac{2y}{1+\sqrt{1-y^{2}}+y}=1 \\ 25(1-y^{2})=41-40\sqrt{1-x^{2}} \end{array}[/tex]

Полагаме [tex]x=sin\alpha, y=sin\beta[/tex]
[tex]0<\alpha, \beta<\frac{\pi}{2}[/tex]
От първото уравнение получаваме:
$$\frac{1-cos\alpha}{sin\alpha}+\frac{2sin\beta}{1+cos\beta+sin\beta}=1 \Leftrightarrow tg\frac{\alpha}{2}+\frac{2sin\beta}{1+cos\beta+sin\beta}=1$$
$$tg\frac{\alpha}{2}=1-\frac{2sin\beta}{1+cos\beta+sin\beta}=\frac{1+cos\beta+sin\beta-2sin\beta}{1+cos\beta+sin\beta}=\frac{1+cos\beta-sin\beta}{1+cos\beta+sin\beta}$$
Сега разделяме числителя и знаменателя на [tex]|:(1+cos\beta) \Rightarrow tg\frac{\alpha}{2}=\frac{1-tg\frac{\beta}{2}}{1+tg\frac{\beta}{2}}[/tex], понеже [tex]tg\frac{x}{2}=\frac{1-cosx}{sinx}=\frac{sinx}{1+cosx}[/tex]
Сега забелязваме, че [tex]tg\frac{\alpha}{2}=\frac{1-tg\frac{\beta}{2}}{1+tg\frac{\beta}{2}}=\frac{tg45^\circ-tg\frac{\beta}{2}}{1+tg45^\circ tg\frac{\beta}{2}}=tg(45^\circ-\frac{\beta}{2})[/tex]
$$tg\frac{\alpha}{2}=tg(45^\circ-\frac{\beta}{2}) \Rightarrow \frac{\alpha}{2}=45^\circ-\frac{\beta}{2}+180^\circ , k\in \mathbb{Z} \Rightarrow \alpha+\beta=90^\circ+360k$$
[tex]\alpha+\beta=90^\circ+360k[/tex], но [tex]0<\alpha,\beta<90^\circ \Rightarrow k=0[/tex] е единственият възможен вариант [tex]\Rightarrow \alpha+\beta=90^\circ[/tex]
[tex]x=sin\alpha, y=sin\beta[/tex] и [tex]\alpha+\beta=90^\circ \Rightarrow y=sin\beta=sin(90^\circ-\alpha)=cos\alpha \Rightarrow x^{2}+y^{2}=1[/tex]
Сега към второто уравнение в системата
$$ x^{2}+y^{2}=1 \Rightarrow 1-x^{2}=y^{2} \Rightarrow 25(1-y^{2})=41-40y \Rightarrow 25y^{2}-40y+16=0 \Rightarrow (5y-4)^{2}=0 \Rightarrow y=\frac{4}{5}$$
$$x^{2}+y^{2}=1, y=\frac{4}{5} \Rightarrow x=\frac{3}{5} \Rightarrow \left(\frac{3}{5};\frac{4}{5}\right)$$