успоредник

[Стоянов]

Ако диагоналите на успоредник са с дължини 10 см и 16 см и синусът на ъгъла между тях е корен от 21 / 5 то намерете по - дългата страна на успоредника .

[S.B.]

Ако диагоналите на успоредник са с дължини 10 см и 16 см и синусът на ъгъла между тях е корен от 21 / 5 то намерете по - дългата страна на успоредника .

Ако правилно съм Ви разбрала и [tex]\varphi[/tex] e ъгълът между диагоналите то [tex]sin\varphi = \sqrt{\frac{21}{5}} > 1[/tex]? Или аз не съм разбрала,или Вие не сте преписали вярно условието на задачата, защото [tex]sin\varphi \in [-1;1][/tex]?

[Стоянов]

корен от 21 / 5
5 тицата няма корен

[S.B.]

Без заглавие (22).png (170.93 KiB) Прегледано 485 пъти

Успоредник [tex]ABCD , AC = 16, BD = 10 ,\angle AFB = \varphi ,sin\varphi = \frac{\sqrt{21}}{5} ,AB = ?[/tex]
Подлагам на транслация с вектор [tex]\vec{AB}[/tex] диагоналът $DB$ при което [tex]D\rightarrow C , B\rightarrow E ,BE = AB ; \angle ACE = \angle AFB = \varphi[/tex] (като съответни при пресичане на две усп.прави с трета)
За [tex]\triangle AEC[/tex] прилагам косинусова теорема:
[tex]AE^{2} = AC^{2} + CE^{2} - 2.AC.EC.cos\varphi[/tex]
[tex]cos\varphi = \sqrt{1 - sin^{2}\varphi} = \sqrt{1 - \frac{21}{25}} = \sqrt{\frac{4}{25}} = - \frac{2}{5}[/tex]
[tex]AE^{2} = 16^{2} + 10^{2} + 2.10.16.\frac{2}{5} = 356 + 128 = 228 = 484 \Rightarrow AE = 22[/tex]
$2.AB = AE \Rightarrow AB = 11$

[Добромир Глухаров]

11 см

$\angle AFB>90^\circ$

[S.B.]

11 см

$\angle AFB>90^\circ$

Прав сте,много сте прав![tex]cos\varphi = - \frac{2}{5}[/tex]
(Да съм влюбена - не съм,минало ми е времето! )

[ptj]

Няма нужда от допълнителни построения, защото диагоналите на успоредника се разполовяват.

[tex]\varphi<90^\circ \Rightarrow cos(180^\circ-\varphi)=-cos(\varphi)=-\sqrt{1-sin^2(\varphi)}<0[/tex]

Тогава (чрез косинусова теорема) голямата страна е:
[tex]\sqrt{8^2+5^2-2.8.5.cos(180^\circ-\varphi)=64+25+80\sqrt{1-(\frac{\sqrt{21}}{5})^2}}=\sqrt{89+80.\frac{2}{5}}=\sqrt{121}=11[/tex]

---------------------------------------------
По-интересно е условие, при което в решението не се разрешава използването на косинусова теорема.