Доказателство за ирационалност на e

[Петър Евгениев]

Докажете, че [tex]e\approx 2,71...[/tex] е ирационално число.
В задачата е подсказано, че може да се изпозлва наготово, че: [tex]e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...[/tex]

[ptj]

https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BE_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE

[Петър Евгениев]

Докажете, че [tex]e\approx 2,71...[/tex] е ирационално число.
В задачата е подсказано, че може да се изпозлва наготово, че: [tex]e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...[/tex]

Доказателството не е мое. Това е доказателството на Жозеф Фурие.
Доказателството е с предполагане на обратното: Нека преположим, че [tex]e[/tex] е рационално:[tex]e=\frac{a}{b}, a,b\in \mathbb{Z^{+}}[/tex]
Знаем, че [tex]b!e=b!.\frac{a}{b} \rightarrow \mathbb{Z}[/tex]
От подсказаното можем да умжноим двете страни по [tex]b![/tex], като разбира се трябва да сходи. А то сходи към [tex]e[/tex]
[tex]b!e=b!(1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...) \Leftrightarrow b!e=b!(1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{b!}+\frac{1}{(b+1)!}+\frac{1}{(b+2)!}+...) \rightarrow \mathbb{Z}[/tex]
Като това ще се раздели на:
$$b!e=\underbrace{b!\left(1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{b!} \right)}_{\in \mathbb{Z}}+b!\left(\frac{1}{(b+1)!}+\frac{1}{(b+2)!}+...\right)$$
[tex]\underbrace{b!\left(1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{b!} \right)}_{\in \mathbb{Z}}[/tex] е цяло число, защото b!.1 е цяло число, [tex]b!.\frac{1}{1!}[/tex] е цяло число, [tex]b!.\frac{1}{2!}[/tex] е цяло число ... и [tex]b!.\frac{1}{b!}[/tex] е цяло число.
Сега ще покажем, че втората част, нека е [tex]X[/tex]
[tex]X=\underbrace{b!\left(\frac{1}{(b+1)!}+\frac{1}{(b+2)!}+...\right)}_{0<X<1}[/tex] е между 0 и 1([tex]0<X<1[/tex]), което ще е противоречие, защото предположихме, че [tex]e=\frac{a}{b} \rightarrow \mathbb{Z} \Rightarrow b!e\rightarrow \mathbb{Z}[/tex], а това че второто събираемо не е цяло число означава, че ще имаме [tex]b!e=\mathbb{Z}+[/tex]нещо, което е между 0 и 1, тоест [tex]b!e[/tex] не е [tex]\mathbb{Z}[/tex].
[tex]X=\underbrace{b!\left(\frac{1}{(b+1)!}+\frac{1}{(b+2)!}+...\right)}_{0<X<1}=\frac{1}{b+1}+\frac{1}{(b+1)(b+2)}+\frac{1}{(b+1)(b+2)(b+3)}+...[/tex]
Първо ясно е ,че [tex]X>0[/tex], защото [tex]b>0[/tex]
Понеже:
[tex]X=\frac{1}{b+1}+\frac{1}{(b+1)(b+2)}+\frac{1}{(b+1)(b+2)(b+3)}+...<\frac{1}{b+1}+\frac{1}{(b+1)^{2}}+\frac{1}{(b+1)^{3}}+...[/tex]
е очевидно, защо.
И [tex]Y=\frac{1}{b+1}+\frac{1}{(b+1)^{2}}+\frac{1}{(b+1)^{3}}+...[/tex] е безкрайна геометрична прогресия с [tex]|q|<1 \Rightarrow S_{Y}=\frac{a}{1-q}=\frac{\frac{1}{b+1}}{1-\frac{1}{b+1}}=\frac{1}{b} \Rightarrow S_{Y}=\frac{1}{b}, b\in \mathbb{Z^{+}} \Rightarrow Y=\frac{1}{b}< 1[/tex] е строго, защото по-горе започнахме със строго неравенство.
Което от расъжденията по-горе доказва, че имаме противоречие. Тоест нашето допускане [tex]e=\frac{a}{b}, a,b\in \mathbb{Z}[/tex] е невъзжможно тоест [tex]e\ne \frac{a}{b}, a,b\in \mathbb{Z}[/tex] е ирационално.

[Maximianus Herculius]

Една забележка относно записа на условието.

Докажете, че [tex]e \approx 2,71...[/tex] е ирационално число.
...

Правилното е по-долу.
Числото [tex]e[/tex] е [tex]точно[/tex] равно на [tex]2,71...\,\ .[/tex]
или
"Числото [tex]e=2,718... \,\ .[/tex]"
или
"[tex]e= 2,7182818284... \,\ .[/tex]"


А, ако искаме да напишем приближение с определена степен на точност (грешка) използваме символа за приближение [tex]\approx[/tex], или допълнително поясняваме.
[tex]e\approx 2,72[/tex]
или
[tex]e\approx 2,718[/tex]
или
[tex]e\approx 2,7182818285[/tex]

Същото за [tex]\pi[/tex]
Всички знаят, че [tex]\pi = 3,14[/tex] (но малко от тях осъзнават, че това е с точност до стотните).
Но съвсем малко хора ( и на теория и на практика - предимно от нашите среди) си дават сметка, че [tex]\pi \approx 3,14[/tex].

[Петър Евгениев]

Уместна забележка. Съгласих се.