Ромб

[Стоянов]

ABCD е ромб , R е радиусът на описаната около триъгълник ABC окръжност , а r е радиусът на описаната около триъгълник ABD окръжност . Намерете лицето на ромба .
формулата за лице на ромб използвам но не се получава S = a * 2r
но r е радиус на вписана окръжност . не ми се получава и тва е изписах много и вече се отказвам . моля ви за помощ

[S.B.]

Ромб

Без заглавие (28).png (159.82 KiB) Прегледано 915 пъти

Нека $\angle BAD = \alpha ,AB = a$
Около [tex]\triangle ABC[/tex] описана окр. с радиус $R$ - прилагам синусова теорема $ \frac{AC}{sin(\pi - \alpha)} = \frac{AC}{sin\alpha} = 2R \Rightarrow AC= 2Rsin\alpha$
Аналогично за $ \triangle ABD : \frac{BD}{sin\alpha} = 2r \Rightarrow BD = 2rsin\alpha$

$S_{ABCD } = \frac{AC.BD}{2} = \frac{2Rsin\alpha.2rsin\alpha}{2} \Rightarrow S_{ABCD } = 2Rrsin^{2}\alpha$

От $\triangle AOB : \frac{OB}{AB} = sin\frac{\alpha}{2} \Rightarrow OB = a.sin\frac{\alpha}{2} \Leftrightarrow \frac{BD}{2} = asin\frac{\alpha}{2} \Leftrightarrow \frac{2rsin\alpha}{2} = asin\frac{\alpha}{2} \Rightarrow a = 2rcos\frac{\alpha}{2}$
[tex]S_{ABCD } = a^{2}sin\alpha = 4r^{2}cos^{2}\frac{\alpha}{2}sin\alpha[/tex]
Приравнявам лицата и получавам:[tex]2rRsin^{2}\alpha = 4r^{2}cos^{2}\frac{\alpha}{2}sin\alpha \Leftrightarrow Rsin\alpha = 2rcos^{2}\frac{\alpha}{2} \Leftrightarrow \frac{2r}{R} = \frac{2sin\frac{\alpha}{2}cos\frac{\alpha}{2}}{cos^{2}\frac{\alpha}{2}}[/tex]
Получи се $tg\frac{\alpha}{2} = \frac{r}{R}$ От [tex]\begin{array}{|l} tg\frac{\alpha}{2} = \frac{r}{R}\\sin^{2}\frac{\alpha}{2} + cos^{2}\frac{\alpha}{2} = 1\end{array} \Rightarrow cos^{2}\frac{\alpha}{2} = \frac{R^{2}}{r^{2} + R^{2}} = \frac{1 + cos\alpha}{2}[/tex]
От където $cos\alpha = \frac{R^{2} - r^{2}}{R^{2} + r^{2}}$ ,а $sin^{2}\alpha = (\frac{2rR}{r^{2} + R^{2}})^{2}$
Тогава $S_{ABCD } = 2rRsin^{2}\alpha = 2rR\frac{4r^{2}R^{2}}{(r^{2} + R^{2})^{2}} = \frac{8r^{3}R^{3}}{(r^{2} + R^{2})^{2}}$

[Евва]

Задачата е чудесна,решавали сме я вече по 2 различни начина.
Влез в 11 клас, "Лице на ромб"-02.февр.2018 г.