Задача от Областен кръг на НОМ, 2019 година за 8 клас

[Австралопитек]

Даден е четириъгълник ABCD. Средите на страните AB, BC, CD и DA са съответно M, N, P и Q. Медицентърът на BNP е F, а медицентърът на NPD е G. MG [tex]\cap[/tex] FQ = K. Отсечката FK = 6 см. Докажете, че KQ = 9 см.

Screenshot_1.png (40.53 KiB) Прегледано 690 пъти

[123a]

Предполагам търсиш решение без вектори? Аз доказах, че KQ=9, но с подобни триъгълници, които се учат в 9 клас.

[Knowledge Greedy]

Даден е четириъгълник ABCD. Средите на страните AB, BC, CD и DA са съответно M, N, P и Q. Медицентърът на BNP е F, а медицентърът на NPD е G. MG ∩ FQ = K. Отсечката FK = 6 см. Докажете, че KQ = 9 см.
Решение:
Средите на страните [tex]AB, BC, CD[/tex] и [tex]DA[/tex] са съответно [tex]M, N, P[/tex] и [tex]Q[/tex].
[tex]M=\frac{1}{2}(A+B); \,\ N=\frac{1}{2}(B+C); \,\ P=\frac{1}{2}(C+D); \,\ Q=\frac{1}{2}(D+A)[/tex]

Медицентърът на [tex]\triangle BNP[/tex] е [tex]F[/tex].
[tex]\left.\begin{matrix}
B \\
N=\frac{1}{2}(B+C)\\
P=\frac{1}{2}(C+D)
\end{matrix}\right\} \,\ \Rightarrow \,\ F=\frac{1}{3}(B+N+P) \,\ \Rightarrow \,\ F=\frac{1}{2}B+\frac{1}{3}C+\frac{1}{6}D \,\ ( \ast)[/tex]

Медицентърът на [tex]\triangle NPD[/tex] е [tex]G[/tex].
[tex]\left.\begin{matrix}
D \\
N=\frac{1}{2}(B+C)\\
P=\frac{1}{2}(C+D)
\end{matrix}\right\} \,\ \Rightarrow \,\ G=\frac{1}{3}(D+N+P) \,\ \Rightarrow \,\ G=\frac{1}{2}D+\frac{1}{3}C+\frac{1}{6}B \,\ (\ast \ast)[/tex]

От [tex]( \ast)[/tex] и [tex](\ast \ast)[/tex] следва, че [tex]\overrightarrow{FG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BD}[/tex]

От [tex]M=\frac{1}{2}(A+B)[/tex] и [tex]Q=\frac{1}{2}(D+A)[/tex] следва [tex]\overrightarrow{MQ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}[/tex]

Последните две векторни равенства дават [tex]\overrightarrow{FG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{MQ}[/tex]

Задачка за 8 клас.png (2.21 KiB) Прегледано 579 пъти

Сега завършекът е ясен (може да оформим с каквито искаме изразни средства, дори например със средна отсечка) - виж чертежа.