Непознато състезание по математика

[Knowledge Greedy]

Решете неравенството:

[tex]\frac{\sqrt{-x^2+7x-6}}{|x^2 - 6x+3|-|x^2-2x-3|} \le 0[/tex]

[Davids]

Получих $x \in [1; \frac{3}{2}) \cup (3 + \sqrt{6}; 6]$... май. Това ли е?

[Добромир Глухаров]

Получих $x \in [1; \frac{3}{2}) \cup (3 + \sqrt{6}; 6]$... май. Това ли е?

Не е ли $4$ вместо $3+\sqrt{6}$?

[Davids]

$\frac{\sqrt{-x^2 + 7x - 6}}{|x^2 - 6x + 3| - |x^2 - 2x - 3|} \le 0$

Числителят преобразуваме като: $\sqrt{-(x - 1)(x - 6)} \ge 0 \Rightarrow x \in [1; 6]$ ни е ДС.

With that being said, преминаваме към знаменателя, който искаме да е строго отрицателен:
$\Rightarrow |x^2 - 6x + 3| < |x^2 - 2x - 3|$

Ще решаваме две квадратни уравнения, намирайки нулите на тричлените в модулите, след което разграфяваме знаците на двете страни в интервалите на числовата ос (левия знак е за левия тричлен, десния - за десния):
$$
\begin{array}{lcccccccr}
&-1&&3-\sqrt{6}&&3&&3 + \sqrt{6}\\
\hline
++&|&+-&|&--&|&-+&|&++\\
I)сл.&&III)сл.&&II)сл.&&IV)сл.&&I)сл
\end{array}
$$

Та, първи случай, когато и тричлените и в двата модула са положителни:
$I)$сл.: $x \in (-\infty; -1) \cup (3 + \sqrt{6}; \infty)$

$\Rightarrow x^2 - 6x + 3 < x^2 - 2x - 3$
$x > \frac{3}{2}$
$\Rightarrow x > 3 + \sqrt{6}$

Втори случай, когато и двата са отрицателни:
$II)$сл.: $x \in (3-\sqrt{6}; 3)$

$\Rightarrow -(x^2 - 6x + 3) < -(x^2 - 2x - 3)$
$...$
$x < \frac{3}{2}$
$\Rightarrow x \in (3-\sqrt{6}; \frac{3}{2})$

Аналогично трети случай:
$III)$сл.: $x \in (-1; 3 - \sqrt{6})$
$\Rightarrow x^2 - 6x + 3 < -x^2 + 2x + 3$
$x \in (0; 4)$
$\Rightarrow x \in (0; 3 - \sqrt{6})$

И четвърти:
$IV)$сл.: $x \in (3; 3 + \sqrt{6})$
$\Rightarrow -x^2 + 6x - 3 < x^2 - 2x - 3$
$x \in (-\infty; 0) \cup (4; +\infty)$
$\Rightarrow x \in (4; 3 + \sqrt{6})$

Обединеният отговор от всичките четири случая е: $x \in (0; 3 - \sqrt{6}) \cup (3-\sqrt{6}; \frac{3}{2}) \cup (4; 3 + \sqrt{6}) \cup (3 + \sqrt{6}; +\infty)$

Пресечено с ДС, това ни дава:
$\boxed{x \in[1; \frac{3}{2}) \cup (4; 6]}$

С което потвърждавам забележката на @Добромир Глухаров.

[123a]

Davids, вместо излишно да си усложняваш живота с тия 4 случая, използвай,че

$|f(x)|<|g(x)|<=>(f(x)-g(x)).(f(x)+g(x))<0$

Неравенството е еквиваленто на системата

[tex]\begin{cases} 1\le x\le6\\ (4x-6)(x^2-4x)>0 \end{cases}[/tex]

И получаваме $x\in[1;\frac{3}{2})\cup(4;6]$