Непознато състезание по математика в BG /продължава

[Knowledge Greedy]

12.2. Ъглополовящата [tex]AD[/tex] и височината [tex]BE[/tex] в остроъгълния триъгълник [tex]ABC[/tex] се пресичат в точка [tex]O[/tex]. С център [tex]O[/tex] и даден радиус [tex]r[/tex] е построена окръжност, която минава през точката [tex]A[/tex], през средата [tex]M[/tex] на страната [tex]AC[/tex] и пресича страната [tex]AB[/tex] в точка [tex]K[/tex], така че [tex]AK:KB=1:3[/tex]. Намерете дължината на страната [tex]BC[/tex].

[Nathi123]

[tex]AD\cap BE=O; BE\bot AC; \angle CAD=\angle DAB=\frac{\alpha}{2}\Rightarrow \angle\alpha ;AM=MC;A,M,K\in k(O,r) \Rightarrow AO=OM=OK=r[/tex]
[tex]\Rightarrow OE\bot AM; AE=ME=y ; \angle MAO=\angle AMO=\frac{\alpha}{2} ; AM=2y;AC = 4y ; \triangle AOM\cong \triangle AOK\Rightarrow[/tex]
[tex]AM = AK ; AK : BK = 1 :3 \Rightarrow AK = x ; BK = 3x \Rightarrow AB= 4x ; 2y=x\Rightarrow \frac{y}{x}=\frac{1}{2}; \triangle AOE\Rightarrow[/tex]
[tex]\frac{y}{r}=cos\frac{\alpha}{2}\Rightarrow y=rcos\frac{\alpha}{2}; \triangle ABE\Rightarrow \frac{AE}{AB}=cos\alpha[/tex]
[tex]\Rightarrow cos\alpha =\frac{y}{4x}=\frac{1}{8}[/tex]
[tex]\Rightarrow cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}\Rightarrow y=\frac{3r}{4}\Rightarrow AC=3r;AB=4x=8y=6r[/tex]
От косинусова т-ма за [tex]\triangle ABC \Rightarrow BC^{2}=9r^{2}+36r^{2}-2.3r.6r.\frac{1}{8}\Rightarrow BC=\frac{9r\sqrt{2}}{2}[/tex].