Непознато състезание по математика в BG/ продължава

[Knowledge Greedy]

12.3. Дадена е функцията [tex]f(x)=\frac{x+6}{x}[/tex]. Съставени са функциите [tex]f_1(x)=f(f(x))[/tex], [tex]f_2(x)=f(f(f(x)))[/tex] и изобщо [tex]f_n(x)=f(f_{n-1}(x))[/tex], за всяко естествено [tex]n (n\ge 2)[/tex]. Определете броя на корените на уравнението [tex]f_{2019}(x)=x[/tex]

[Sup3rlum]

Ако разгледаме функция от типа:

$f(x)=\frac{a}{x}+b$ има един корен когато $b\ne 0$ и $a\ne 0$

$\Rightarrow f_1(x)=\frac{a}{\frac{a}{x}+b}+b = \frac{a}{\frac{a+bx}{x}}+b=\frac{ax}{a+bx}+b=\frac{ax+ab+b^2x}{a+bx}$
$=\frac{ab + (a+b^2)x}{a+bx}$

Горе и долу членовете са линейно-независими (не са пропорционални). Това означава, че $f_1(x)$ е равна на константа само когато:

$\frac{ab}{a}=\frac{a+b^2}{b}$

$b=\frac{a}{b}+b$
$\frac{a}{b}=0$

От това се разбира, че $f_1(x)$ не може да има константна стойност. Следва, че може да се напише във формата
$f_1(x)=\frac{c}{a+bx}+d$ където $d=\frac{a+b^2}{b}$ а $c = ab-ad$.

Тази форма $f_1(t)=\frac{c}{t}+d$ където $t=a+bx$ е линейна трансформация и има същите свойства като оригиналната функция $f(x)$, и както знаем $c$ и $d$ няма как да са равни на нула според дефиницииите им.

По този начин можем да повторим вместването 2019 пъти и ще имаме само един корен, стига $a\ne0$ и $b \ne0$, които в този случай са 1 и 6.

Отг: 1 корен.

[drago]

... По този начин можем да повторим вместването 2019 пъти и ще имаме само един корен, стига $a\ne0$ и $b \ne0$, които в този случай са 1 и 6.
Отг: 1 корен.

$f(x)=x$ очевидно има 2 корена $x_1=3$ и $x_2=-2$. Тези два корена очевидно са и корени на
$$\underbrace {f(f(\dots (f(x))\dots)}_{n\text{ пъти}}=x$$
така че $f_{2019}(x)=x$ има поне два корена

[grav]

$f(x)=x$ очевидно има 2 корена $x_1=3$ и $x_2=-2$. Тези два корена очевидно са и корени на
$$\underbrace {f(f(\dots (f(x))\dots)}_{n\text{ пъти}}=x$$
така че $f_{2019}(x)=x$ има поне два корена

Само да допълня. След като не може да има повече от два корена, значи са тези.

[drago]

Всъщност да, разбира се. Композиция от дробно-линейни функции е отново дробно линейна, коеот означава че накрая повече от два корена няма как да станат.

[Sup3rlum]

Съвсем съм недовидял края на условието което е $f_{2019}(x)=x$, а не $f_{2019}(x)=0$ както съм си мислил през цялото време. Упс. Иначе, идеята за запазване на свойствата си е същата:

Отговор: 2 Корена

[grav]

Малък вариант.
Определете броя на корените на уравнението [tex]f_{2019}(x)=x+1[/tex]