Интересна задача

[simona_ovcharova]

Цяло число [tex]m>1[/tex] е богатo, ако за положително цяло $n$ съществуват положителни цели числа x, y, z, такива че [tex]n = mx^2 - y^2 - z^2[/tex]. Цяло число [tex]m>1[/tex] е бедно, ако не е богато.

А) Намерете бедно цяло число.
Б) Намерете богато цяло число.

[pal702004]

ако за положително цяло $n$ съществуват положителни цели числа x, y, z,...

Ако за всяко положително цяло $n$ существуват положителни цели...

Ами $m=2$ е такова число, защото имаме: $(x^2-y^2)+(x^2-z^2)=n$

Всяко число, освен даващи остатък 2 при делене на 4, е представимо като разлика на 2 квадрата, така че в този случай решение е $z=x,\; x^2-y^2=n$

За всяко $n=4k+2$ решение ще е $z=y,\;x^2-y^2=2k+1$

Все пак става въпрос за естествени, по-големи от 0 числа, така че за $n=1$ и $n=2$ трябва да се разгледат отделно.

За $n=1$ решение е $x=3,y=4,z=1$

Za $n=2$ решение е $x=9,y=12,z=4$


$m=4$ не е такова число, защото $4x^2-y^2-z^2\not \equiv 1\pmod 4$

[Доцент Колев]

A)
1) Ще докажем, че $m=4$ е бедно. Ако $y$ и $z$ са четни, имаме $4x^2-y^2-z^2\equiv 0 - 0 - 0 = 0\pmod 4$. Ако $y$ е четно, а $z$ е нечетно или обратното, $4x^2-y^2-z^2 \equiv 0 - 0 -1 \equiv 3\pmod 4 $. Ако $y$ и $z$ са нечетни, $4x^2-y^2-z^2\equiv 0-1-1 \equiv 2\pmod 4$. Следователно е невъзможно да запишем цяло число $n \equiv 1 \pmod 4$ като $n = mx^2 - y^2 - z^2$. Така че, $m = 4$ е бедно.
2) $m=3$ е бедно, ако докажеш, че е невъзможно да запишем цяло число $n \equiv 5 \pmod 8$ като $n = 3x^2-y^2-z^2$.

[pal702004]

Всяко число, крато на 4 или на просто $3 \pmod 4$ е бедно.
$y^2+z^2=mx^2-n\quad (1)$
Ясно е, че при $m$ делящо се на 4, дясната страна може да е $3\pmod 4$, а лявата - не.

Нека $m$ се дели на просто $p\equiv 3 \pmod 4$, т.е $m=p^kq,\;\gcd(p,q)=1$. Уравнение $(1)$ придобива вид
$y^2+z^2=p^kqx^2-n$
При $k>1$ уравнението е неразрешимо при $n=p$ (дясната страна се дели на $p$ и не се дели на $p^2$, а както е известно, сумата на два квадрата се дели на просто $3\pmod 4$ само ако и двете числа се делят на $p$, и тогава сумата се дели и на $p^2$).

При $k=1$, уравнението е неразрешимо при $n=pq(q-1)$. След задължителното $y=py_1,z=pz_1$ и съкращаване се стига до
$p(y_1^2+z_1^2)=q(x^2-p+1)$ А сравнението $x^2\equiv -1 \pmod p$ е неразрешимо за прости $p\equiv 3 \pmod 4$

Всички останали числа са богати.

Известно е, че всички естествени числа, които не се делят на 4 и в каноничното им разлагане нечетните прости са само от вид $1\pmod 4$ са представими като сбор на два взаимнопрости квадрата. Тоест, за всяко такова $m$ съществуват взаимнопрости $a,b$, такива че $a^2+b^2=m$
След полагане $y=ax+u,z=bx-v$ уравнението се превръща в

$2x(bv-au)=n+u^2+v^2\quad (2)$

1) При нечетно $m$, $a$ и $b$ са с различна четност. Решаваме уравнението (линейно диофантово)
$bv-au=1\quad (3)$, като се стараем дясната страна на $(2)$ да е четна.
То има безброй много решения $(u,v)$, понеже a и b са взаимнопрости. И ако първото решение не подхожда по четност (не прави дясната страна на $(2)$ четна), то второто със сигурност подхожда. Понеже
$u_1=u_0+b$ и $v_1=v_0+a$
Тогава
$u_1+v_1=u_0+v_0+(a+b)$
И понеже $a+b$ е нечетно, четността на $u+v$ (а съответно и на $u^2+v^2$) се променя. Така че за всяко $n$ (и четно, и нечетно) има подходящи решения.

2)При четно $m$, $a$ и $b$ са нечетни. Решенията $(u,v)$ на уравнението $bv-au=1$ са с различна четност, или, $u^2+v^2$ в дясната страна на $(2)$ е винаги нечетно. Което осигурява решения за всяко нечетно $n$

Нека $n$ е четно. Тогава решаваме уравнението $bv-au=2\quad (4)$, което също има безброй решения. Лявата страна на $(2)$ става $4x$, значи в дясната трябва да осигурим делимост на 4. При нечетни $a,b$ решенията $(u,v)$ на уравнение $(4)$ са с еднаква четност (или едновременно четни, или едновременно нечетни). При това ако $u_0$ и $v_0$ са нечетни, то
$u_1=u_0+b$ и $v_1=v_0+a$ са четни и обратно. Значи, имаме и четни, и нечетни решения.

Ако са четни, $u^2+v^2\equiv 0 \pmod 4$
Ако са нечетни, $u^2+v^2\equiv 2 \pmod 4$

И каквото и да е четното $n$ можем да осигурим делимост на 4 на дясната страна на уравнение $(2)$

Ами това е...накратко.