Непознато състезание по математика в BG/ продължава

[Knowledge Greedy]

11.1. Пресметнете стойността на [tex]F=(a+b+c) \left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )[/tex],
ако [tex]a,b[/tex] и [tex]c[/tex] са положителни и такива, че [tex]\frac{a}{2b+3c}=\frac{2b}{3c+a}=\frac{3c}{a+2b}[/tex].
11.2. В равнобедрения [tex]\triangle ABC[/tex] с основа [tex]AB[/tex] точката [tex]D\in BC[/tex] е такава, че [tex]BD:DC=1:3[/tex].
Точката [tex]E[/tex] е средата на [tex]AD[/tex]. Ако [tex]CE=\sqrt{7}[/tex] и [tex]BE=3[/tex], намерете [tex]\angle BEC[/tex] в радиани.

[Davids]

[tex]\frac{a}{2b+3c}=\frac{2b}{3c+a}=\frac{3c}{a+2b}[/tex]

Хващаме първите две части и преобразуваме:
$a(3c + a) = 2b(2b + 3c)$
$3ac + a^2 = 4b^2 + 6bc$
$6bc - 3ac = a^2 - 4b^2$
$3c(2b - a) = (a + 2b)(a - 2b)$
$(a + 2b + 3c)(a - 2b) = 0$

Единствено решение е $a = 2b$, тъй като другият вариант е $c = -\frac{a + 2b}{3}$, което не е възможно при строго положителни $a, b, c$.

Аналогично $a = 3c$ и така получаваме $a = 2b = 3c$.

Тогава
$F = (a + b + c)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) =$
$= 3 + \frac{a + b}{c} + \frac{a + c}{b} + \frac{b + c}{a} =$
$= 3 + \frac{a + \frac{1}{2}a}{\frac{1}{3}a} + \frac{a + \frac{1}{3}a}{\frac{1}{2}a} + \frac{\frac{1}{2}a + \frac{1}{3}a}{a} =$
$= 3 + 3(1 + \frac{1}{2}) + 2(1 + \frac{1}{3}) + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} =$
$= 11$

[Davids]

Triangle.png (24.56 KiB) Прегледано 447 пъти

Търсения ъгъл $\angle BEC = \varphi$.
По косинусова теорема за $\triangle BEC$ имаме:
$cos\varphi = \frac{7 + 9 - 16x^2}{2.3.\sqrt{7}} = \frac{8(1 - x^2)}{3\sqrt{7}}$

Вече ще работим с $x$ и другите въведени променливи.
По две формули за дължина на медиана от $\triangle ABD$ и $\triangle ADC$ имаме:
[tex]\begin{array}{|l} 4.9 = 2a^2 + 2x^2 - 4y^2 \\ 4.7 = 2.16x^2 + 2.9x^2 - 4y^2 \end{array}[/tex]

По две косинусови теореми за $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$ имаме:
$\begin{array}{|l} 4y^2 = 16x^2 + 9x^2 - 2.4x.3xcos\gamma \\ a^2 = 2.16x^2(1 - cos\gamma) \end{array}$

Образуваме система от четирите уравнения и решаваме за $x^2$, при което аз получавам $x^2 = 1$.

Тогава $cos\varphi = 0 \Rightarrow \varphi = \frac{\pi}{2}$