Задача от конкурс

[антонийо]

Даден е успоредникът ABCD ( AB е успоредно на CD ) . Точката M лежи на страната CD , а точката N лежи на страната AD така , че DM/MC = p и AN /ND = q . Нека O е пресечната точка на AM и BN . Да се намери отношението AO /OM .

[Евва]

Получих [tex]\frac{АО}{ОМ}[/tex]=[tex]\frac{q(p+1)}{pq+p+1}[/tex]

Това ли е отговора ?

[антонийо]

да

[Евва]

1. Направих допълнителни построения.
2. Открих 2 двойки подобни тр-ци.
(Всичко останало е алгебра.)

Скрит текст: покажи

Дълго е р-то и ще се опитам да намеря по-кратко.Чак утре мога да пратя идеята си.

[S.B.]

Без заглавие (82).png (218.69 KiB) Прегледано 584 пъти

Даден е успоредникът ABCD ( AB е успоредно на CD ) . Точката M лежи на страната CD , а точката N лежи на страната AD така , че DM/MC = p и AN /ND = q . Нека O е пресечната точка на AM и BN . Да се намери отношението AO /OM .

[tex]\frac{DM}{MC} = p \Rightarrow DM = p.MC ,DC =AB = MC.(p + 1)[/tex]

[tex]\frac{AN}{ND} = q \Rightarrow AN = q.ND , AD = BC = ND.(q + 1)[/tex]

Построявам: $LM || BC , L \in AB , LM \cap NB = K;$ $LBCM$ - успоредник $\Rightarrow LM = BC = ND.(q + 1) , LB = MC$

$\triangle ANO \approx \triangle KMO \rightarrow \frac{AO}{OM} = \frac{AN}{KM} = \frac{q .ND}{KM}$

Ще трябва да се изрази $KM$ чрез $ND$ :

$\triangle ABN \approx \triangle KLB \rightarrow $
$\frac{AN}{KL} = \frac{AB}{LB} = \frac{MC.(p + 1)}{MC} = p + 1 \Rightarrow \frac{AN}{KL} = p + 1 \Leftrightarrow q.ND = (p + 1).KL \Rightarrow KL = \frac{q.ND}{p + 1}$
$KM = ML - KL = ND.(q + 1) - \frac{ND.q}{p + 1} = ND( q + 1- \frac{q}{p + 1} ) = \frac{ND(pq + p + 1)}{p + 1}$
Получи се : $\displaystyle\frac{AO}{OM} = \displaystyle \frac{AN}{KM} = \displaystyle \frac{q.ND}{\displaystyle \frac{(pq + p +1).ND}{p + 1}} =\displaystyle \frac{q(p + 1)}{pq + p + 1)} $
$$\frac{AO}{OM} = \frac{q(p + 1)}{p(q + 1) + 1}$$

[Евва]

Нека правата АМ пресича правата ВС в т.V . Означих AN=qy, DN=y, DM=px, CM=x, CV=z .

([tex]\triangle[/tex]AON[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]OBV 1 пр.) [tex]\frac{АО}{OV}[/tex]=[tex]\frac{AN}{BV}[/tex] т.е. OV=[tex]\frac{AO.BV}{AN}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] OV=[tex]\frac{AO[ (q+1)y+z ]}{qy}[/tex] (1)
([tex]\triangle[/tex]AMD[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]MCV 1 пр.) [tex]\frac{AD}{CV}[/tex]=[tex]\frac{MD}{MC}[/tex]=[tex]\frac{AM}{MV}[/tex] т.е. [tex]\frac{y(q+1)}{z}[/tex]=[tex]\frac{px}{x}[/tex] и [tex]\frac{px}{x}[/tex]=[tex]\frac{AO+OM}{OV-OM}[/tex] получаваме

z=[tex]\frac{y(q+1)}{p}[/tex] (2) и AO+OM=p(OV-OM) (3)

Скрит текст: покажи

Заместваме (2) в (1)

OV=[tex]\frac{AO[ py(q+1)+y(q+1) ]}{pqy}[/tex] (4)

Скрит текст: покажи

Заместваме (4) в (3)

AO+OM=p[ [tex]\frac{AO[py(q+1)+y(q+1)}{pqy}[/tex]-OM ] ...

OM(pqy+qy)=AO(pqy+py+y) [tex]\Leftrightarrow[/tex] y(pq+q)=[tex]\frac{AO.y(pq+p+1)}{OM}[/tex]

[tex]\frac{AO}{OM}[/tex]=[tex]\frac{q(p+1)}{pq+p+1}[/tex]

Скрит текст: покажи

Не искам точки,вече ми ги дадохте.