Максимална стойност

[Sup3rlum]

Тази задача ми я дадоха от един университет, не съм се пробвал, по-късно ще се пробвам да дам отговор:

Не е нищо особено, просто алгебра и multivariable calculus

Ако:
$u+v+w+x+y=15$

Колко е максималната стойност на $f(x,y,u,w,v)=uvx+uvy+uwx+uwy$

[Davids]

$А = f(x, y, u, v, w) = uvx + uvy + uwx + uwy = u(vx + vy + wx + wy) = u(v + w)(x + y)$

Реално, ако положим $a = u$, $b = x + y$ и $c = v + w$, даденото придобива вида $a + b + c = 15$, а изразът ни става $A = abc$.
Остана да ползваме само зависимостта между средно аритметично и средно геометрично на три числа:
$A_n = \frac{a + b + c}{3} = 5$
$G_n = \sqrt[3]{abc} = \sqrt[3]{A}$

И окончателно:
$G_n \le A_n$
$\sqrt[3]{A} \le 5$
$\Rightarrow A \le 125$

[Sup3rlum]

По малко по-книжовен начин:


$a+b+c=15 \Rightarrow a = 15 - b - c$

$f(a,b,c)=abc=(15-b-c)bc$

$=15bc-b^2c-bc^2$

За минимум максимум:

$\nabla f = (f_b, f_c) = (0,0)$
$\nabla f = (15c-2bc-c^2, 15b-2bc-b^2)=(0,0)$

[tex]\begin{array}{|l} 15c-2bc-c^2=0 \\15b-2bc-b^2=0 \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} 15c-c^2=2bc \\15b-b^2=2bc \end{array}[/tex]

$15c-c^2=15b-b^2$
$c(15-c)=b(15-b)$

Решения са $b=15-c$ и $b=c$

Ако вземем $b=c$

$f = 15c^2-2c^3$

Където локалният максимум е на $(5, 125)$

Ако вземем $b=15-c$ функцията няма локален максимум

[Genie_Almo]

$А = f(x, y, u, v, w) = uvx + uvy + uwx + uwy = u(vx + vy + wx + wy) = u(v + w)(x + y)$

Реално, ако положим $a = u$, $b = x + y$ и $c = v + w$, даденото придобива вида $a + b + c = 15$, а изразът ни става $A = abc$.
Остана да ползваме само зависимостта между средно аритметично и средно геометрично на три числа:
$A_n = \frac{a + b + c}{3} = 5$
$G_n = \sqrt[3]{abc} = \sqrt[3]{A}$

И окончателно:
$G_n \le A_n$
$\sqrt[3]{A} \le 5$
$\Rightarrow A \le 125$

Единственият "неприятен" момент е, че връзката $G_n \le A_n$ е безусловно в сила само за неотрицателни числа.

[vezni]

Функцията [tex]abc[/tex] няма максимална стойност за [tex]a+b+c=15[/tex]. Ако вземем [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] да са произволно малки отрицателни числа, оттук [tex]c=15-a-b[/tex] е положително и [tex]abc[/tex] е произволно голямо положително число. Има локален максимум за [tex]f(5,5,5) = 125[/tex], което излиза с множителите на Лагранж. Ако прибавим ограничението [tex]a,b,c \geq 0[/tex], тогава това ще е и максималната стойност.

[Jullian]

При даденото условие функцията няма максимум:
f(x,y,u,v,w)=uvx+uvy+uwx+uwy=u(v+w)(x+y). Полагаме v+w=m и x+y=n.
Тогава f(u,m,n)=umn=f(m,n)=mn(15-m-n)=-n[tex]m^{2}[/tex]+(15n-[tex]n^{2}[/tex])m
1. При n=0 f(m,n)=0
2. При n>0 коефициентът пред [tex]m^{2}[/tex] -n<0 и f(m,n) има максимум при m=[tex]\frac{15-n}{2}[/tex] fmax(m,n)=[tex]\frac{n^{3}-30n^{2}+225n}{4}[/tex]=f(n)
При n[tex]\in(-\infty;5][/tex] f'(n)[tex]\ge0[/tex] при n[tex]\in(5;15)[/tex] f'(n)<0 и при n[tex]\in[15;+\infty)[/tex] f'(n)[tex]\ge0[/tex], т.е. функцията f(m,n) има локален максимум при n=5, локален минимум при n=15 и при n>15 е монотонно растяща и няма максимална стойност.
3. При n<0 f(m,n) има локален минимум и при m[tex]\rightarrow\pm\infty[/tex]
f(m,n)[tex]\rightarrow+\infty[/tex] и също няма максимум.

Ако по условие u,m и n[tex]\ge0[/tex] то u,m и n[tex]\le15[/tex] и тогава от случай 2 следва, че f(u,m,n) има максимум при n=m=u=5 и той е fmax(u,m,n)=125