правоъгълен триъгълник

[Сашкопетка]

В правоъгълен триъгълник с дължини на катетите a и b е вписан квадрат, който има общ прав ъгъл с триъгълника. Да се намери периметъра на квадрата.

[S.B.]

Без заглавие (66).png (202.54 KiB) Прегледано 689 пъти

В правоъгълен триъгълник с дължини на катетите a и b е вписан квадрат , който има общ прав ъгъл с триъгълника . Да се намери периметъра на квадрата .

Построяване на квадрата MKNC
т. $K$ е пресечна точка на ъглополовящата на [tex]\angle ACB[/tex] и хипотенузата $AB$
$ KM \bot AC , KN \bot BC , KM = KN = x$ (Защо?)
[tex]\triangle AKM \approx \triangle BKN \Rightarrow \frac{AM}{KN} = \frac{MK}{NB} \Leftrightarrow \frac{b - x}{x} = \frac{x}{a - x} \Rightarrow x = \frac{ab}{a + b}[/tex]
$$P_{MKNC } = \frac{4ab}{a + b}$$

[Knowledge Greedy]

Диагоналът [tex]CK[/tex] на квадрата е ъглополовяща на правия ъгъл на триъгълника (по чертега на S.B., за което ѝ благодаря!).
Ето защо [tex]CK=\frac{ab\sqrt{2}}{a+b}[/tex] - по формулата за ъглополовяща.
Следователно страната на квадрата е [tex]\frac{ab}{a+b}[/tex], а периметърът е [tex]\frac{4ab}{a+b}[/tex]