- Без заглавие (37).png (307.05 KiB) Прегледано 649 пъти
Пирамидата е $ABCD$ с основа $ABC$
1)По условие кълбото се допира в средите на сновните ръбове,а периметърът на основата е $3a$
2)По условие средите на околните ръбове лежат върху повърхнината на кълбото
От двете условия следва,че пирамидата е правилна,триъгълна с основен ръб $a$
Центърът на кълбото $O$ лежи на на височината $DO_{1 }$ на пирамидата , където $O_{1 }$ е център на вписаната в $\triangle ABC$ окръжност с $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$
Построявам равнина по апотемата $DK$ и височината в основата $KC$,която пресича пирамидата в сечението [tex]\triangle DKC[/tex]
От $S_{ок } = S \Rightarrow S = \frac{3а}{2}.DK \Rightarrow DK = \frac{2S}{3a}$
Нека $DO_{1 } = h $ от $\triangle KDO_{1 }$ по Питагор намирам $h = \frac{\sqrt{16S^{2} - 3a^{4}}}{6a}$
Кълбото се допира до $AB$ в т.$K \Rightarrow OK = R$ ; Средите на околните ръбове лежат върху повърхнината на кълбото $\Rightarrow OM = R$ ,където т.$M$ е среда на околния ръб $CD$
$MN \bot KC ,MN = \frac{h}{2} $ (средна отсечка в $\triangle O_{1 }CD$)
От $О_{1 }КО \rightarrow KO^{2} = КО_{1 }^{2} + OO_{1 }^{2} \Leftrightarrow R^{2} = r^{2} + x^{2}$
От $\triangle OPM \rightarrow OM^{2} = OP^{2} + PM^{2} \Leftrightarrow R^{2} = r^{2} + (\frac{h}{2} - x)^{2}$
Тогава $r^{2} + x^{2} = r^{2} + (\frac{h}{2} - x)^{2} \Leftrightarrow x^{2} - (\frac{h}{2} - x)^{2} = 0 \Leftrightarrow \frac{h}{2}(2x - \frac{h}{2}) = 0 $
$\frac{h}{2} \ne0 \Rightarrow x = \frac{h}{4} \Rightarrow x = \frac{\sqrt{16S^{2} - 3a^{4}}}{24a}$
[tex]R^{2} = x^{2} + r^{2} \Leftrightarrow \frac{16S^{2} - 3a^{4}}{(24a)^{2}} + \frac{a^{2}}{12} = .....= \frac{16S^{2} + 45a^{4}}{24^{2}a^{2}}[/tex]
$R = \frac{\sqrt{16S^{2} + 45a^{4}}}{24a}$
$$V_{к } = \frac{4}{3}\pi(\frac{\sqrt{16S^{2} + 45a^{4}}}{24a})^{3}$$
Никой любовен роман не е разплакал толкова много хора,колкото учебникът по математика.
Ако нещо мърда - това е биология,ако мирише -това е химия,ако има сила - това е физика,а ако нищо не разбираш - това е математика
Меню
