Стара задача от "Квант"

[Knowledge Greedy]

Триъгълник има цели дължини на страните [tex]a, b[/tex] и [tex]c[/tex].
Знаем още, че една от неговите височини има дължина, равна на сбора от дължините на другите две височини.
Да се докаже, че [tex]a^2+b^2+c^2[/tex] е число, което се представя като квадрат на цяло число.

[Nathi123]

Нека [tex]h_{a }=h_{b}+h_{c }[/tex] (1); [tex]2S=ah_{a }=bh_{b }=ch_{c }[/tex] където S е лицето на триъгълника.
Така (1) e еквивалентно на равенство (2) : [tex]\frac{1}{a}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\Leftrightarrow b+c=\frac{bc}{a}=p[/tex].(3)
По условие b и с са цели числа ,следователно р= b+c също е цяло число.От (3) получаваме,че
[tex]b^{2}+c^{2}+2bc=p^{2}\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}=p^{2}+a^{2}-2bc; 2ap=2bc\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a-p)^{2}[/tex],
където a-p e цяло число.

[KOPMOPAH]

Хубавите задачи имат хубави решения.

[pipi langstrump]

[tex]a^2+b^2+c^2= a^2 +b^2 + \frac{(ab) ^2} {(a+b)^2}[/tex]

Така като го гледам тоя израз и като се иска да се направи точен квадрат ми идва на ум формулата [tex](x+1/x)^2=x^2+1/x^2 +2[/tex]

Представяме [tex]a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab[/tex] и става

[tex](a+b)^2 - 2ab +\frac{(ab) ^2} {(a+b)^2} = ((a+b) - \frac{ab} {a+b}) ^2 +2ab - 2ab =(a+b-c) ^2[/tex] и готово.