Делимост

[Михаил05]

Ако a е цяло число , то да се докаже, че изразът [tex]a^{5}[/tex]-a се дели на 5

[Davids]

$a^5 - a = a(a^4 - 1) = a(a^2-1)(a^2+1) = a(a-1)(a+1)(a^2+1)$

Сега, ако $a$ е число респективно от вида $5k \pm 1$ или $5k$, то един от първите три множителя ще се дели на 5 директно. Остана да разгледаме сценария с $a = 5k \pm 2$
Тогава $a^2 + 1 = 25k^2 \pm 20k + 4 + 1 = 5(5k^2 \pm 4k + 1)$, което очевидно се дели на 5.

Да отбележим против евентуално чудене, че случаите $a = 5k \pm 3$ и $a = 5k \pm 4$ съвпадат с $a = 5k \pm 2$ и $a = 5k \pm 1$, само че с единица отместване на $k$

Q.E.D

[Sup3rlum]

Q.E.D

Ненужно усложнение

$(a-1)a(a+1)(a^2+1)$ - това са три последователни числа и един фактор който е с едно повече от квадрат.

Ако $a \equiv 0 (mod 5)$ сме готови.

Ако $a \equiv 1 (mod 5)$ или $a \equiv 4 (mod 5)$ пак сме готови.

Ако $a \equiv 2 (mod 5)$

$a^2 + 1 \equiv 2^2+1 (mod 5) \equiv 0 (mod 5)$

Ако $a \equiv 3 (mod 5)$

$a^2+1 \equiv 3^2+1 (mod 5) \equiv 0 (mod 5)$

[Davids]

Q.E.D

Ненужно усложнение

$(a-1)a(a+1)(a^2+1)$ - това са три последователни числа и един фактор който е с едно повече от квадрат.

Ако $a \equiv 0 (mod 5)$ сме готови.

Ако $a \equiv 1 (mod 5)$ или $a \equiv 4 (mod 5)$ пак сме готови.

Ако $a \equiv 2 (mod 5)$

$a^2 + 1 \equiv 2^2+1 (mod 5) \equiv 0 (mod 5)$

Ако $a \equiv 3 (mod 5)$

$a^2+1 \equiv 3^2+1 (mod 5) \equiv 0 (mod 5)$

Питай Михаил05 дали е учил модулно деление на 14 години Няма „ненужни усложнения“, има различни подходи. Гледал съм да съобразя моя с изучаваното по математика в училищата у нас (или поне каквото познавам аз със скромния си цяложивотен опит в него а ти?). В крайна сметка размишленията са едни и същи, зависимостите също. Какво ново, различно или „по-просто“ показа? Просто съм обяснил как мислим по въпроса, вместо да го представям във вида на формули и зависимости с остатъци. Представи си пък, че на някого му е „по-просто“ да го възприеме обяснено така, отколкото насвяткано директно с математическата символика... Отново, нищо против да се покаже и така, ама с това „излишно усложнение“ не знам какво се цели като коментар...

Скрит текст: покажи

Ай стига са заяжда вече, че ш ма караш да та бия

[pal702004]

Питай Михаил05 дали е учил модулно деление на 14 години

Раздела "Задача на седмицата" не е точното място, където да се раздъвква на автора на темата решението на прости задачки според възможностите му. Тук би трябвало да се дават трудни и интересни задачи, на които автора (който има поне 100 мнения на форума) знае решението и предлага на съфорумците да си поблъскат и те главите (поне седница).

Така че тук решението спокойно може да е: По МТФ $a^p \equiv a\pmod p$ и довиждане. Кой'т разбрал - разбрал.

На който му трябва помощ - да избере подходящ раздел, където да помоли.

[S.B.]

Аз тази сутрин писах по този въпрос.В последно време "задача на седмицата" се използва като "бърза поръчка" дори и за елементарни задачи каквато беше предишната.Мисля,че pal702004 e прав.Това пространство трябва да бъде запазено наистина за по-специални задачи!