Безброй много естествени решения

[Vurbaninator]

Докажете, че съществуват безброй много естествени числа, които удовлетворяват условието:
n/[(((n-1)/2)!)^2+1].

[pal702004]

Нека запишем нормално условието

$\left[\left(\dfrac{n-1}{2}\right)!\right]^2 \equiv -1 \pmod n$

Това е вярно за всички прости $n$ от вида $n=4k+1$

По Теоремата на Уилсън, ако $n$ е просто, то $(n-1)!\equiv -1 \pmod n$

В случая $n=4k+1$

$(n-1)!=(4k)!=(1\cdot 2 \cdots 2k)\times ((-1)\cdot (-2)\cdots(-2k)) \pmod n$

Понеже отрицателните множители са четен брой, то минусите могат да се игнорират и се получава

$=((2k)!)^2 \pmod n$

или
$\left[\left(\dfrac{n-1}{2}\right)!\right]^2 \equiv -1 \pmod n$

[Vurbaninator]

Абсолютно вярно. Аз си я измислих тази задачка, за това е така проста.