Ирационално неравенство

[KOPMOPAH]

Да се реши неравенството $$2x^2-2x(1-\sqrt{3-3x^2})-1\ge 0$$

Скрит текст: покажи

Отг. $x \in \big[-1; \cos \frac {7\pi}9\Big]\cup \Big[\frac 12; \cos \frac {\pi}9\Big]$

[Davids]

Още поглеждайки дефиниционното множество от $x \in [-1; 1]$ ни хрумва веднага да положим с тригонометрична функция. Избирам $x = cos\alpha$, понеже в израза имаме също $2x^2 - 1$, което ще стане идеална формулка. Та, полагаме и неравенството придобива вида:
$2cos^2\alpha - 1 - 2cos\alpha + 2\sqrt{3}sin\alpha cos\alpha \ge 0$

Извършваме действията по формулите и достигаме до:
$cos2\alpha - 2cos\alpha + \sqrt{3}sin2\alpha \ge 0$

Групираме така:
$2(\frac{1}{2}cos2\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}sin2\alpha) - 2cos\alpha \ge 0 |:2$
$cos(60 - 2\alpha) - cos\alpha \ge 0$

Прилагаме формулата за разлика от косинуси и получаваме неравенството:
$sin(30 - \frac{\alpha}{2})sin(30 - \frac{3\alpha}{2}) \le 0$

Решаването на това неравенство беше най-интересната част от задачата за мен. Използваме класическа таблица на знаците за двата множителя за аргумент в интервала $[0; 2\pi]$ и получаваме интервалите за $\alpha \in [\frac{\pi}{9}; \frac{\pi}{3}] \cup [\frac{7\pi}{9}; \frac{13\pi}{9}]$.

Сега остана да намерим минимумите и максимумите на функцията $x = cos\alpha$ за $\alpha$ в дадените интервали.

В интервала $\alpha \in [\frac{\pi}{9}; \frac{\pi}{3}]$ функцията намалява, като е винаги по-голяма от стойностите си в интервала $\alpha \in [\frac{7\pi}{9}; \frac{13\pi}{9}]$, където тя минава и през минимума на косинуса. Така получаваме отговора от $x \in [-1; cos\frac{7\pi}{9}] \cup [\frac{1}{2}; cos\frac{\pi}{9}]$

[S.B.]

Отговора под спойлера е директна "подсказка" каква субституция трябва да се направи - ясно е ,че ще бъде чрез тригонометрична функция,избора на която не е особено труден,тъй като те са само 4 за радост.Но защо Davids реши ,че Д.М. е [tex]x\in [-1 ; 1][/tex]? Какво се случва при $x = 0 \in [- 1 ; 1 ]$
Когато се замести $x = 0$ в неравенството се получава $ - 1 \ge 0$

[Davids]

Отговора под спойлера е директна "подсказка" каква субституция трябва да се направи - ясно е ,че ще бъде чрез тригонометрична функция,избора на която не е особено труден,тъй като те са само 4 за радост.Но защо Davids реши ,че Д.М. е [tex]x\in [-1 ; 1][/tex]? Какво се случва при $x = 0 \in [- 1 ; 1 ]$
Когато се замести $x = 0$ в неравенството се получава $ - 1 \ge 0$

ДС съм дефинирал от стойността под корена: $3(1-x^2) \ge 0$. Само това.

[S.B.]

Отговора под спойлера е директна "подсказка" каква субституция трябва да се направи - ясно е ,че ще бъде чрез тригонометрична функция,избора на която не е особено труден,тъй като те са само 4 за радост.Но защо Davids реши ,че Д.М. е [tex]x\in [-1 ; 1][/tex]? Какво се случва при $x = 0 \in [- 1 ; 1 ]$
Когато се замести $x = 0$ в неравенството се получава $ - 1 \ge 0$

ДС съм дефинирал от стойността под корена: $3(1-x^2) \ge 0$. Само това.

Просто $x \ne 0 $ от където и да го погледнеш.Не може да определяш D.M само за "част" от неравенството.
Д.М. е за $x$ спрямо което е неравенството, $x$ не е в "облаците".

[Davids]

Принципно $x = 0$ не е ли просто нерешение? В смисъл, има разлика между ДС и стойности, които не са решение на неравенството. Ако изключим всички нерешения като ДС, то решаваме неравенството. Или нещо не се разбираме?

[S.B.]

[tex]2x^{2} - 2x(1 - \sqrt{3 - 3x^{2}}) - 1 \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt{3 - 3x^{2}} \ge \frac{1 - 2x^{2} + 2x}{2x}[/tex]
Няма да споря повече дали се касае за "нерешение" или Д.М.
Като гледам този $x$ в знаменателя....
Спирам до тук!

[Genie_Almo]

[tex]2x^{2} - 2x(1 - \sqrt{3 - 3x^{2}}) - 1 \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt{3 - 3x^{2}} \ge \frac{1 - 2x^{2} + 2x}{2x}[/tex]

S.B., aз не бих казал че двете неравенства са еквивалентни. Един пример е $x=-1$. При целия ми респект към теб, мисля че в случая Davids е прав.

[S.B.]

S.B., aз не бих казал че двете неравенства са еквивалентни. Един пример е $x=-1$. При целия ми респект към теб, мисля че в случая Davids е прав.

Всъщност прав си.Обърках се
Поднасям извиненията си на Davids!