Тригонометрична задача

[KOPMOPAH]

Да се изрази с радикали $\cos 81^\circ$

[Sup3rlum]

По-принцип не ги засичам такива задачи на време така че се радвам да мога да си раздвижа мозъка без някой да е написал отговора.

$cos81^\circ=sin9^\circ=sin(45-36)=sin(45)cos(36)-sin(36)cos(45)=\frac{1}{\sqrt{2}}(cos36-sin36)$

Използвам златния триъгълник където:

main-qimg-2d084abc8cdea794bff5d5d62cb35b6c.jpg (10.49 KiB) Прегледано 959 пъти

Според синусовата теорема:

$\frac{sin36}{1}=\frac{sin72}{\varphi} \Rightarrow \varphi sin36=2sin36cos36 \Rightarrow cos36=\frac{\varphi}{2}$

$sin36=\sqrt{1-cos^236}=\sqrt{1-\frac{\varphi^2}{4}}$

$cos81^\circ=\frac{1}{\sqrt{2}}\bigg(\frac{\varphi}{2}-\sqrt{1-\frac{\varphi^2}{4}}\bigg)=\frac{1}{\sqrt{2}}\bigg(\frac{\varphi}{2}-\sqrt{1-\frac{\varphi+1}{4}}\bigg)=\frac{1}{\sqrt{2}}\bigg(\frac{\varphi}{2}-\sqrt{\frac{3-\varphi}{4}}\bigg)=\frac{1}{2\sqrt{2}}\bigg({\varphi}-\sqrt{3-\varphi}\bigg)$

$\frac{1}{2\sqrt{2}}\bigg(\frac{1+\sqrt{5}}{2}-\sqrt{3-\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\bigg)=\frac{1}{2\sqrt{2}}\bigg(\frac{1+\sqrt{5}}{2}-\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}}\bigg)$

Преобразувания още може със сигурност но го оставям до тук

[S.B.]

Без заглавие (95).png (191.15 KiB) Прегледано 890 пъти

Още един поглед върху задчата:
[tex]cos81^\circ = cos(45^\circ + 36^\circ) = cos45^\circ.cos36^\circ - sin45^\circ.sin36^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}(cos36^\circ - sin36^\circ)[/tex]
Нека $\triangle ABC$ е един от многото подобни правоъгълни триъгълници с остри ъгли $18^\circ$ и $72^\circ$ и със страни $ka ,kb ,kc$ където $k$ е коефициентът на подобие.
$ cos72^\circ = \frac{kb}{kc} = \frac{b}{c}$
$sin^{2} 36^\circ = \displaystyle\frac{1 - cos72^\circ}{2} =\displaystyle \frac{1 - \displaystyle \frac{b}{c} }{2} = \displaystyle \frac{c - b}{2c} \Rightarrow sin36^\circ = \sqrt{\displaystyle \frac{c - b}{2c}}$
$cos^{2}36^\circ = \displaystyle \frac{1 + cos72^\circ}{2} = \displaystyle \frac{c + b}{2c} \Rightarrow cos36^\circ = \sqrt{\displaystyle\frac{c + b}{2c}}$
$cos81^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}(cos36^\circ - sin36^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\sqrt{\frac{c + b}{2c}} - \sqrt{\frac{c - b}{2c}})$
$cos^{2}81^\circ = \frac{2}{4}(\frac{c + b}{2c} - 2\sqrt{\frac{c + b}{2c}.\frac{c - b}{2c}} + \frac{c - b}{2c}) = \frac{1}{2}(\frac{c + b + c - b}{2c} - 2\sqrt{\frac{c^{2} - b^{2}}{4c^{2}}} )= $
$ = \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{c}\sqrt{c^{2} - b^{2}}) = \frac{1}{2c}(c - \sqrt{c^{2} - b^{2}}) = \frac{c - \sqrt{c^{2} - b^{2}}}{2c}$
$cos81^\circ = \sqrt{\frac{c - \sqrt{c^{2} - b^{2}}}{2c}} = \frac{\sqrt{c - \sqrt{c^{2} - b^{2}}}}{\sqrt{2}\sqrt{c}}$

Скрит текст: покажи

Повече радикали не можах да измисля!

[S.B.]

Без заглавие (95).png

Повече радикали не можах да измисля!

Напротив!Още може!
[tex]c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \Rightarrow cos81^\circ = \frac{\sqrt{\sqrt{a^{2} + b^{2}} - \sqrt{\sqrt{a^{2} + b^{2}} - b^{2}}}}{\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}}[/tex]

[S.B.]

Без заглавие (95).png

Повече радикали не можах да измисля!

Напротив!Още може!
[tex]c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \Rightarrow cos81^\circ = \frac{\sqrt{\sqrt{a^{2} + b^{2}} - \sqrt{\sqrt{a^{2} + b^{2}} - b^{2}}}}{\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}}[/tex]

Като се има превид,че [tex]cos72^\circ = 0,3090[/tex],то един от моите триъгълници има страни $c = 1 , b = 0,309 , a = 0,951$
Тогава получаваме : [tex]cos81^\circ = \frac{\sqrt{0,049}}{\sqrt{2}} = ..... = \frac{7\sqrt{20}}{200}[/tex]

Скрит текст: покажи

Ако не съм оплескала сметките

[Sup3rlum]

....

Бъркаш. Стойности от сорта $a\sqrt{b+\sqrt{c}}$ не са подмножество на стойности от сорта $d\sqrt{e}$, следователно няма как да са еквивалентни за $a,b,c,d,e \in \N$

Още повече, че както вече видяхме, $cos36^\circ$ е ирационално, $sin36^\circ$ също е ирационално с друго коренна група, следователно и $cos72^\circ$ е ирационално и няма как да е $0.3090$

За такива числа е доста очевидно, че са закръглени от GeoGebra.

Screenshot_4.png (6.67 KiB) Прегледано 836 пъти

$cos81^\circ = \sqrt{\frac{c - \sqrt{c^2 - b^{2}}}{2c}}$

Тъй като твоя триъгълник е половинка от моя, ако $b=\frac{1}{2}$, тогава $c=\varphi$

$\Rightarrow \sqrt{\frac{\varphi - \sqrt{\varphi^2-\frac{1}{4}}}{2\varphi}}=\sqrt{\frac{4-\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{8}}$

[S.B.]

Стойността на [tex]cos72^\circ = 0,3090[/tex] е взета от таблицата за стойностите на тригонометричните функции."Математически справочник" ,автор Боряна Милкоева ,изд.1998 г.,стр.155.Колкото и да ти е чудно няма нищо общо с GeoGebra.Явно ти никога не си чувал за "Четиризначни математически таблици".Аз все още ги ползвам.Не знам дали могат да се намерят някъде,но аз ги притежавам.Колегите от по-старото поколение много добре ги знаят.

[S.B.]

Без заглавие (23).png (212.44 KiB) Прегледано 638 пъти

Още едно решение :
$cos81^\circ = cos(45^\circ + 36^\circ) = cos45.cos36 - sin45.sin36 = \frac{\sqrt{2}}{2}(cos36^\circ - sin36^\circ)$
$cos36^\circ = \sqrt{\frac{1 + cos72^\circ}{2}} , sin36^\circ = \sqrt{\frac{1 - cos72^\circ}{2}}$

Ще определя $cos72^\circ$

За целта построявам $\triangle ABC ,\angle A = \angle B = 72^\circ ,\angle C = 36^\circ$
Построявам ъглополовящата $AL (L\in BC)$ на [tex]\angle BAC = 72^\circ[/tex]
$\triangle ABL$ е равнобедрен
$BL = y,AB = AL = x , AC = x + y , AH \bot BL$
От $\triangle ABH \rightarrow cos72^\circ = \frac{BL}{AB} = \frac{y}{2x} = \frac{1}{2}.\frac{y}{x}$

Ще намеря отношението $\frac{y}{x}$:

$\triangle ABL \approx \triangle ABC \rightarrow \frac{BL}{AB} = \frac{AB}{BC} \Leftrightarrow \frac{y}{x} = \frac{x}{x + y} \Leftrightarrow y^{2} + xy - x^{2} = 0$
Получи се едно хомогенно уравнение.
$ x^{2} \ne 0 \Rightarrow (\frac{y}{x})^{2} + \frac{y}{x} - 1 = 0 ,D = 5 , (\frac{y}{x})_{1,2 } = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2} , \frac{y}{x} > 0 \Rightarrow \frac{y}{x} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$
$cos 72^\circ = \frac{1}{2}.\frac{y}{x}\Rightarrow cos72^\circ = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$ ;
$sin36^\circ = \sqrt{\frac{1 - cos72^\circ}{2}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{5 - \sqrt{5}}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}\sqrt{5 - \sqrt{5}}$
$cos36^\circ = \sqrt{\frac{1 + cos72^\circ}{2}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{3 + \sqrt{5}}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}\sqrt{3 + \sqrt{5}}$
Тогава $$cos81^\circ \frac{\sqrt{2}}{2}(cos36^\circ - sin36^\circ) = \frac{1}{4}(\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{5 - \sqrt{5}})$$

[S.B.]

[quote="S.B."]
От $\triangle ABH \rightarrow cos72^\circ = \frac{BL}{AB} = \frac{y}{2x} = \frac{1}{2}.\frac{y}{x}$
_____________________________________________
Да се чете: От [tex]\triangle ABH \rightarrow cos72^\circ = \frac{BH}{AB} = \frac{y}{2x} = \frac{1}{2}.\frac{y}{x}[/tex]
Съжалявам!