Страшничка система

[KOPMOPAH]

Да се намери при какви стойности на параметъра $\alpha$ системата:
$$\begin{array}{|l}
\cos^2 (\pi xy) -2\sin^2(\pi x)-3\sin^2(\pi y)-2+\tg (\pi \alpha)= 0 \\
\cos (\pi xy) -\displaystyle \frac 32\sin^2(\pi x)-2\sin^2(\pi y)-\frac 32+\displaystyle \frac 12\tg (\pi \alpha)= 0 \\
\log_2(1+4\sin^2\Big(\displaystyle\frac{\pi\alpha}4-\frac{\pi}{16}\Big)-x^2-y^2)\le \displaystyle \frac 12
\end{array}$$ има точно 4 решения.

[KOPMOPAH]

Всъщност тази доста страшничка (на пръв поглед) система има сравнително просто решение. Скрито е под спойлера в случай, че някой още малко иска да си поблъска главата

Скрит текст: покажи

Изразяваме тангенса от първите две уравнения и след преработка получаваме: $$\cos^2(\pi xy)-2\cos(\pi xy)+\sin^2(\pi x)+\sin^2(\pi y)+1=0$$ откъдето излиза, че сума на три квадрата е равна на нула:$$(\cos(\pi xy)-1)^2+\sin^2(\pi x)+\sin^2(\pi y)=0$$Това е възможно единствено, когато $\sin(\pi x)=\sin(\pi y)=0$ и $\cos(\pi xy)=1$, което означава, че $x,y\in{\mathbb Z}$, при това $xy$ е четно.

При това положение първите две уравнения се превръщат в $\tan(\pi\alpha)=1$, откъдето $\pi\alpha=\frac{\pi}4+\pi m$, където $m$ е цяло. Последният израз еднозначно се определя от значението на параметъра и при различни $α$ се получават различни $m$. По този начин задачата се свежда до намирането на подходящи значения на $m$.

Лесно се вижда, че $\frac{\pi\alpha}4-\frac{\pi}{16}=\frac{\pi m}4$. Синус на такъв ъгъл може да приема значения $0, \pm\frac{\sqrt2}2$ и $±1$, откъдето изразът $k=1+4\sin^2(\frac{\pi\alpha}4-\frac{\pi}{16})$ приема значения $1$, $3$ или $5$.

Последното неравенство е равносилно на $0 < k-x^2-y^2\le\sqrt2$, и остава да се изследва колко решения има то при всяко $k$.

Ако $k=1$, то $1-\sqrt2\le x^2+y^2 < 1$. Това значи, че решението е едно - $(0;0)$, което не ни върши работа.

Ако $k=3$, то $3-\sqrt2\le x^2+y^2 < 3$. Това значи, че $x^2+y^2=2$. Решенията тук са четири: $(±1;±1)$, но се нарушава условието за четността на $xy$, поради което също не ни върши работа.

Ако $k=5$, то $5-\sqrt2\le x^2+y^2 < 5$. Тук $x^2+y^2=4$ и решенията тук са също четири: $(±2;0)$ и $(0;±2)$. Всяко от произведенията $xy$ за различните стойности е винаги четно, значи този случай ни върши работа.

В крайна сметка стигаме до извода, че $k=5$.Това е равносилно на $\sin^2\frac{\pi m}4=1$, т.е. $\cos\frac{\pi m}2=-1$. Следователно, $\frac{m}2$ е цяло нечетно, т.е. $m=4n+2$, $n\in{\mathbb Z}$. Окончателно получаваме, че $$\alpha=\frac14+m=\frac94+4n$$