от трета част на изпит

[Ивана К.]

В триъгълник ABC е вписана окръжност , която се допира до страната BC в точка D . Ако AD = DB , BC= 9 см и cosABC= [tex]\frac{2}{3}[/tex] , да се намери дължината на страната AB .

[Добромир Глухаров]

$BD=3cm;\ AB=4cm$

Ако означим $BD=x;\ AB=y$ и като използваме равни допирателни, изразим страните на $\Delta ABD$ и $\Delta ACD$ чрез $x$ и $y$, а също съобразим, че $\angle ADC=2\angle ABD$, можем посредством две Косинусови теореми да направим система с неизвестни $x$ и $y$.

$\begin{array}{|l}(9+y-2x)^2=(9-x)^2+x^2-2x(9-x)cos2\beta\\ x^2=x^2+y^2-2xycos\beta\end{array}$

където $cos\beta=\frac{2}{3}$

[Евва]

Означаваме BD=х .Първо намерих:

АВ=[tex]\frac{4х}{3}[/tex] ,ВС=9 ,АС=[tex]\frac{27-2х}{3}[/tex]

и приложих една кос. теорема .
Получих АВ=4 см.