Пак (уж) страшничка система

[KOPMOPAH]

Да започнем седмицата с нова задача - решете системата:$$\begin{array}{|c}
x+2y^2-y^4=e^x \\
\operatorname {arccos}x + 2 \operatorname {arctg}y = 0
\end{array}$$

[Knowledge Greedy]

Първо уравнение.
Разглеждаме функциите [tex]f(x)=e^x-x-1[/tex] и [tex]g(y)=-y^4+2y^2-1[/tex] [tex](\ast)[/tex]
Лесно се вижда, че [tex]\forall x \,\ \Rightarrow \,\ f(x)\ge 0[/tex], при това в [tex](-\infty;0)[/tex] функцията е намаляваща, а в [tex](0;+\infty)[/tex] - е растяща.
Също така [tex]\forall x \,\ \Rightarrow \,\ g(y)\le 0[/tex], при това в [tex](-\infty;-1)\cup (0;1)[/tex] функцията е растяща, а в [tex](-1;0)\cup(1;+\infty)[/tex] - е намаляваща.

Следователно [tex]f(x)>d(y)[/tex] за всички двойки [tex](x;y)[/tex], с изключение на [tex](0;-1)[/tex] и [tex](0;1)[/tex]
Остана да проверим, коя от тези двойки удовлетворява второто уравнение.

Отговор: [tex]\begin{array}{|l} x = 0 \\ y = -1 \end{array}[/tex]
____________
[tex](\ast)[/tex] Нашето първо уравнение е точно [tex]g(y)=f(x)[/tex]