Логаритмични произведения

[KOPMOPAH]

Да се сравнят изразите $$\log_3 4. \log_3 6. \log_3 8. \log_3 10... \log_3 80 ~~\text{\rm и}~~ 2\log_3 3. \log_3 5. \log_3 7. \log_3 9... \log_3 79$$

[Davids]

Пу, пу, аз съм първи! Да се поперча и да се отбележа само, няма да развалям забавното още!

[S.B.]

Пу, пу, аз съм първи! Да се поперча и да се отбележа само, няма да развалям забавното още!

Първи си ! Аз въобще не съм го видяла,защото когато KOPMOPAH го публикува бях с насапунисани очи в банята!!!

[KOPMOPAH]

Е, хайде! Да видим кой израз е по-голям...

[ins-]

Скрит текст: покажи

Вторият (десният) израз е по-голям. (Използвах софтуер, за да го проверя).

Задачата се свежда до доказване на: [tex]\frac{\log_{3} 4}{\log_{3} 3}.\frac{\log_{3} 6}{\log_{3} 5} ... \frac{\log_{3} 80}{\log_{3} 79}\lt 2[/tex]

За детайлно решение могат да се ползват идеи от следните адреси:

1. Задача 2 от тук: https://artofproblemsolving.com/wiki/in ... /Logarithm (Секция 'Problems')
(Доказва се по подобен начин на: https://www.enotes.com/homework-help/va ... -8-442768_ )
2. Последното неравенство от тук: https://brilliant.org/wiki/logarithmic- ... ities/#_=_

От къде е задачата?

[pal702004]

Вторият (десният) израз е по-голям.

При мен излиза точно обратното

$\log_3 4\cdot \log_5 6 \cdots \log_{79} 80>2$

Да означим лявата страна $A=\log_3 4\cdot \log_5 6 \cdots \log_{79} 80$

$B=\log_4 5\cdot \log_6 7 \cdots \log_{80} 81$

Възползваме се от тъждеството

$\prod_{k=a}^{b-1} \log_k(k+1)=\log_a b$

Получаваме $AB=log_3 81=4$

На $A>B$, понеже $\log_3 4>\log_4 5,\cdots \log_{79} 80>\log_{80} 81$

Следователно $A>2,B<2$

[ins-]

И аз имах подобна идея, но се съмнявах дали не съм объркал посоката на неравенствата. Хванах си грешката. В софтуера съм заместил със суми, вместо с произведения.

[Davids]

Да споделя и аз своя подход, ще започна направо с доказване на твърдението:
$log_34.log_56.log_78...log_{79}80 > 2$

Ако представим:

$log_34.log_45.log_56...log_{79}80.log_{80}81 = 4 = 2^2$

то излиза да се докаже, че:

$(log_34.log_56.log_78...log_{79}80)^2 > log_34.log_45.log_56...log_{79}80.log_{80}81$

Така, и от двете страни имаме по 78 множителя, като при $n \in {3; 4; 5; ...; 79}$ от двете страни имаме респективно двойки множители от вида:
$(log_n(n + 1))^2$ и $log_n(n + 1).log_{n + 1}(n + 2)$

Но понеже за всяко естествено $n$ е в сила: $log_n(n + 1) > log_{n + 1}(n + 2)$, то респективно за всяка от гореспоменатите двойки множители ще е в сила: $(log_n(n + 1))^2 > log_n(n + 1).log_{n + 1}(n + 2)$, т.е. двойките от лявата страна ще са строго по-големи от тези от дясната страна. А както знаем, по-големи множители - по-голямо произведение. С това доказахме, че лявата страна е по-голяма от дясната.

[S.B.]

Ето и моят поглед върху задачата (Бях обещала на Davids да не пиша преди него!)


Нека [tex]A = log_{3 }4.log_{3 }6.log_{3 }8....log_{3 }80[/tex]
От $\div 4,6,8, .....80$ намирам по формулата $a_{n } = a_{1 } + (n - 1)d \Leftrightarrow 80 = 4 + (n - 1)2 \Rightarrow n= 39$
Получих,че произведението $A$ има $39$ множителя:
Нека $B = log_{3 }3.log_{3 }5.log_{3 }7 .... log_{3 }79$
От $\div 3,5,7,....79$ намирам от $79 = 3 + (n - 1)2 \Rightarrow n = 39$
Получих,че и произведението $B$ има $39$ множителя;
От свойството $log_{p }q < log_{p }(q + k) ,k\ge1$ получавам,че всеки множител от произведението $A$ е по - голям от съответният му множител от $B$ ( като не се нарушава поредността на множителите зададена в условието).
Освен това от $log_{3 }4 > log_{3 }3 = 1 \Rightarrow$ , че всеки множител от $A$ е по-голям от $1$ , а от $B$ - всеки множител е по- голям от $1$ с изключение на $log_{3 }3 = 1$
На базата на това се получава,че $A > B , B > 0 \Rightarrow \frac{A}{B} > 1$
От друга страна $\frac{A}{2B} > \frac{A}{B}$ като дроби с еднакъв числител,но знаменателят на първата е по - голям от знаменателя на втората
[tex]\begin{cases} \displaystyle\frac{A}{B} > 1 \\ \displaystyle\frac{A}{2B} >\displaystyle \frac{A}{B} \end{cases} \Rightarrow \displaystyle \frac{A}{2B} > 1 \Rightarrow A > 2B \Rightarrow[/tex]
$$log_{3 }4.log_{3 }6.log_{3 }8.....log_{3 }80 > 2.log_{3 }3.log_{3 }5.log_{3 }7.....log_{3 }79$$

[pal702004]

От друга страна $\frac{A}{2B} > \frac{A}{B}$ като дроби с еднакъв числител,но знаменателят на първата е по - голям от знаменателя на втората

Е....