3 окръжности в един триъгълник...

[S.B.]

В правоъгълен триъгълник с прав ъгъл при върха $C$ са дадени [tex]AB = c , \angle ABC = \beta[/tex]
Да се намерят :
$r$ - радиуса на вписаната в $\triangle ABC$ окръжност ,
$r_{1 } $ - радиуса на окръжността ,която се допира до катетите на триъгълника и вписаната в него окръжност ,
$r_{2 }$ - радиуса на окръжността ,която се допира до вписаната в триъгълника окръжност и продължението на катетите му.
Да се докаже,че [tex]r_{1 }.r_{2 } = r^{2}[/tex]

[S.B.]

На "Лично съобщение" получих запитване дали окръжностите се допират външно.
Да, окръжностите се допират външно.

[KOPMOPAH]

Три окръжности-1.png (15.37 KiB) Прегледано 711 пъти

Използваме общоизвестния факт, че в правоъгълния триъгълник радиусът на вписаната окръжност се изразява с формулата $$r=\frac{a+b-c}2,$$където катетите могат да бъдат изразени чрез дадените в условието хипотенуза и ъгъл.

Разглеждаме правоъгълния триъгълник $CFG$. В него $FE=CF.\frac{\sqrt 2}2$. От друга страна $FD=FE$, защото са допирателни през една точка. Следователно $$CD=CF+CF.\frac{\sqrt 2}2=CF(2+\frac{\sqrt 2}2)$$Но $CD=r$, значи горната формула придобива вида $$r=CF(2+\frac{\sqrt 2}2), $$откъдето след преобразуване се получава $$CF=r(2-\sqrt 2)$$
Радиусът $r_1$ на вписаната в $\triangle CFG$ окръжност може да бъде изразен чрез катетите му $CF=CG=r(2-\sqrt 2)$
и хипотенузата $FG=CF.\sqrt2=r(2-\sqrt 2)\sqrt2$ $$r_1=\frac{r(2-\sqrt 2)+r(2-\sqrt 2)-r(2-\sqrt 2)\sqrt2}2\cdots=\frac{(2-\sqrt 2)^2}2$$

На това място прилагаме втори чертеж

Три окръжности-2.png (14.49 KiB) Прегледано 711 пъти

Скрит текст: покажи

... и записваме скрит ход, както правят шахматистите, тъй като трябва да прекъсна

[KOPMOPAH]

Три окръжности-2.png (14.49 KiB) Прегледано 697 пъти

...продължение от предния брой

Тъй като за $\triangle CKL$ окръжността с радиус $r$ също се явява вписана, то $$\frac{CK+CK-CK.\sqrt 2}2=r$$и след преработка $$CK=r(2+\sqrt 2)$$

Като вземем предвид, че $r_2=CP=CK+CK.\frac{\sqrt 2}2$, след съответната преработка получаваме $$r_2=r.\frac{(2+\sqrt 2)^2}2$$

Вече получихме, че $$r_1=r.\frac{(2-\sqrt 2)^2}2$$и като направим произведението $$r_1.r_2=r.\frac{(2-\sqrt 2)^2}2.r.\frac{(2+\sqrt 2)^2}2= \\ \; \\ =r^2.\frac{(2-\sqrt 2)}2.\frac{(2+\sqrt 2)}2.\frac{(2-\sqrt 2)}2.\frac{(2+\sqrt 2)}2=\cdots=r^2$$получаваме $$r_1.r_2=r^2$$

Скрит текст: покажи

К.Т.Д.

П.П. Опитах се да си представя условието на задачата с окръжности, които се допират вътрешно. Не можах да видя друго разположение, освен в случая, когато трите окръжности съвпадат, но и тогава е в сила последното равенство

[S.B.]

Без заглавие (77).png (278.75 KiB) Прегледано 648 пъти

Въпреки,че е трудно да се пише след прекрасното решение на KOPMOPAH,бих желала да представя и своето решение
В основата на решението ми стои правилото,че геометричното място на центровете на всички окръжности,които се допират до раменете на даден ъгъл е неговата ъглополовяща.
На четрежа с $T_{1 }$ съм означила допирната точка на окръжността ,която е вписана в триъгълника и окръжността,която се допира до катетите и вписаната окръжност , а с $T_{2 }$ допирната точка на вписаната в триъгълника окръжност и окръжността,която се допира до нея и продължението на катетите.(Тази окръжност не съм начертала поради липса на място,а не на желание)
На чертежа $OO_{1 }$ е централата на първите две окръжности.
$OO_{1 } = r_{1 } + r$ , $OM = r, OK = r - x_{1 }$
От [tex]\triangle OKO_{1 } \rightarrow \frac{OK}{OO_{1 }} = cos45^\circ \Leftrightarrow \frac{r - r_{1 }}{r + r_{1 }} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow r_{1 } = \frac{r}{2}(2 - \sqrt{2})^{2}[/tex] (след преработка)
Аналогично се получава за $r $ и $r_{2 }$ : [tex]\frac{r_{2 } - r}{r_{2 } + r} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow r_{2 } = \frac{r}{2}( 2 + \sqrt{2})^{2}[/tex]
[tex]r_{1 }r_{2 } = \frac{r^{2}}{4}[(2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})]^{2} = r^{2}[/tex]