Конкурс СУ 2001 г. зад.2

[S.B.]

Дадена е окръжност [tex]k(O , r = 1)[/tex]
а) Ако върховете $A$ и $B$ на квадрат $ABCD$ са върху $k$, а отсечките $OC$ и $AB$ имат обща точка, да се изрази дължината на отсечката $OC$ като функция на $\alpha = \angle AOB$ и да се намери най-голямата й стойност.
б)Да се намери минималният радиус $R$ на кръг с център $O$,съдържащ всеки такъв квадрат,който има два върха върху дадената окръжност $k$.

[Knowledge Greedy]

Едно упътване за а).

Скрит текст: покажи

С едно определение за синус (респективно синусова теорема за [tex]\triangle ABO[/tex]) и една косинусова теорема за [tex]\triangle BCO[/tex] бързо се получава [tex]OC^2=3+2(sin\alpha+cos\alpha)[/tex], тъй като страната на квадрата излиза [tex]2cos\frac{\alpha}{2}[/tex]
[tex]max \,\ OC = 1+\sqrt{2}[/tex]

б) Отговорът тук е намереното най-голямо [tex]OC[/tex] в а).
Т.е.
[tex]min \,\ R = max \,\ OC[/tex]

[S.B.]

Без заглавие (87).png (272.81 KiB) Прегледано 454 пъти

А ето и чертеж към упътването на колегата Knowlege Greedy
Aз я реших с две косинусови теореми - за [tex]\triangle AOB[/tex] от където получих страната $AB$ и за $\triangle BOC$ , но резултатът е едини същ.