задача с трапец

[Стоянов]

Диагоналите на трапец са 12 см и 5 см . Ако отсечката ,съединяваща средите на основите му ,е 6,5 см , да се намери лицето на трапеца .

[ptj]

Построй успоредник [tex]BNCD[/tex].
[tex]S_{ABCD}=S_{ANB}[/tex]

За триъгълника [tex]ANC[/tex] знаем двете страни и дължината на средната отсечка срещу третата, сл. с Херонавата формула може да намерим лицето му.

М/у другото той е правоъгълен, защото [tex]12^2+5^2=13^2[/tex], т.е. [tex]S_{ABCD}=S_{ANB}=\frac{12.5}{2}=30[/tex]


П.П. Задача, която се решава наум без чертеж определено не е за този раздел.

[KOPMOPAH]

...
П.П. Задача, която се решава наум без чертеж определено не е за този раздел.

Напълно подкрепям казаното. И друг път са се появявали задачи от такъв калибър

[Добромир Глухаров]

Диагоналите на трапец са 12 см и 5 см . Ако отсечката ,съединяваща средите на основите му ,е 6,5 см , да се намери лицето на трапеца .

ptj решава задача с условие:

Диагоналите на трапец са 12 см и 5 см . Ако отсечката ,съединяваща средите на бедрата му ,е 6,5 см , да се намери лицето на трапеца .

и я решава правилно, но на мен ми се струва, че оригиналното условие е друго. Признавам, че не успях да реша оригиналната задача геометрично, та трябваше да използвам инструмента Solver на Excel. Много странно, но той ми даде същия отговор, като получения от ptj - $S=30cm^2$. Явно не разбирам от геометрия, защото не мога да си обясня съвпадението в отговорите .

П. П. Впрочем разбрах - ptj използва, че триъгълникът е правоъгълен, следователно медианата е половината от хипотенузата, по-точно обратното. Но как е разбрал колко е хипотенузата, преди да е сигурен, че триъгълникът е правоъгълен? Явно трябва да се върна в седми клас - нещо не мога да се оправя с тези задачи .

[S.B.]

Без заглавие.png (158.17 KiB) Прегледано 855 пъти

Диагоналите на трапец са 12 см и 5 см . Ако отсечката ,съединяваща средите на основите му ,е 6,5 см , да се намери лицето на трапеца .

Аз напълно се солидаризирам с колегите ptj и KOPMOPAH , по отношение на мястото на тази задача.Наистина тя няма място в "Задача на седмицата", но не приемам,че задачата не трябва да се обясни.Квалификациите "Лесна" и "решава се на ум" са твърде субективни.Методиката за решаване на такива задачи не е разписана в масовите учебници и трябва да се обясни на питащия,защото не всички хора се раждат с "геометрия" в ръка!


Диагоналът [tex]DB[/tex] се подлага на транслация с вектор $DC$ при която $D \rightarrow C,B\rightarrow Q ,BQ = DC$
Тогава $AQ = AB + CD ,S_{ABCD } = S_{AQC }$
$CP$ е медиана в $\triangle AQC$ защото $MP = NC = \frac{CD}{2} ,AM = \frac{AB}{2}\Rightarrow AP = AM + MP = \frac{AB + CD}{2} = \frac{AQ}{2}$
____________________________________________
Видиш ли медиана - продължи я двойно!
__________________________________________

$CK = 2CP ,\triangle APC \cong \triangle PQK \Rightarrow S_{APC } = S_{PQK } \Rightarrow S_{AQC } = S_{CQK }$
За $\triangle CQK \rightarrow CQ = BD = 12 , QK = AC = 5 , CK = 2.MN = 13$
Следва Херонова формула за $\triangle CQK$:
[tex]p = \frac{12 + 13 + 5}{2} = 15 ,S_{CQK } = \sqrt{15.(15 - 12)(15 - 13)(15 - 5)} = \sqrt{15.3.2.10} = \sqrt{5^{2}.3^{2}.2^{2}} = 30[/tex]

[Евва]

И аз не успях да разбера първото решение .
Моето решение (различно от това на S.B.) ще напиша утре .

[Добромир Глухаров]

Хиляди благодарности на S.B.! Леко ми просветна .

[S.B.]

Хиляди благодарности на S.B.! Леко ми просветна .

Моля,моля!Удоволствието е изцяло мое!

[Евва]

Скрит текст: покажи

Работих със същия чертеж като S.B.

За удобство ще ползвам означенията и .
AP=?
AP=AM+MP=[tex]\frac{AB}{2}[/tex]+CN=[tex]\frac{AB}{2}[/tex]+[tex]\frac{CD}{2}[/tex]=[tex]\frac{AB+BQ}{2}[/tex]=[tex]\frac{AQ}{2}[/tex]

Получихме AP=[tex]\frac{AQ}{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] т.Р е среда на AQ [tex]\Rightarrow[/tex] СР е медиана в [tex]\triangle[/tex]AQC

Скрит текст: покажи

Прилагаме формулата за медиана в [tex]\triangle[/tex]AQC.

CP=[tex]\frac{1}{2}[/tex][tex]\sqrt{2CQ^{2}+2AC^{2}-AQ^{2}}[/tex]

[tex]6,5^{2}[/tex]=[tex]\frac{1}{4}[/tex](2.144+2.25-[tex]AQ^{2}[/tex]) ...
AQ=13см.
Щом медианата CP=[tex]\frac{AQ}{2}[/tex] ,то [tex]\triangle[/tex]AQC е правоъгълен с хипотенуза AQ .

[tex]S_{ABCD }[/tex]=[tex]S_{AQC }[/tex]=[tex]\frac{AC.QC}{2}[/tex]=[tex]\frac{5.12}{2}[/tex]=30 [tex]см.^{2}[/tex]