Ирационално уравнение с кубичен корен

[vezni]

Да се намерят реалните корени на уравнението [tex]\sqrt[3]{2-\sqrt[3]{2-x}}=x[/tex].

Отговор:

Скрит текст: покажи

[tex]x=1[/tex]

[ptj]

[tex]\sqrt[3]{2-\sqrt[3]{2-x}}=x[/tex]

[tex]x^3-2=\sqrt[3]{x-2}[/tex]

[tex](x^3-2)^3=x-2[/tex]

[tex]x^9-6x^6+12x^3-8=x-2[/tex]

[tex](x^3-1)(x^6-5x^3+7)=x-1[/tex]

[tex](x-1)(x^2+x+1)\bigg((x^3-\frac{5}{2})^2+\frac{3}{4}\bigg)=x-1[/tex]

[tex](x-1)\bigg((x+\frac{1}{4})^2+\frac{3}{4} \bigg)\bigg((x^3-\frac{5}{2})^2+\frac{3}{4})\bigg)=x-1[/tex]

Проблема е, че произвдението отдясно намиращо се в големите скоби е положително, но на нас ни трябва то да е по-голямо от 1.

Неговия минимум е над 1.30 , но да се използват производни за намирането му е безмислено трудно решение.

Затова трябва да помислим за някоя друга хитрост...

П.П.От графиката се вижда , че минимума вероятно е при [tex]x=\sqrt[3]{\frac{5}{2}}[/tex] (или много близо до него).

[Davids]

[tex]\sqrt[3]{2-\sqrt[3]{2-x}}=x[/tex]

[tex]x^3-2=\sqrt[3]{x-2}[/tex]

А ако още тук вземем двете страни като функции и докажем, че могат да имат само една пресечна точка, тъй като производната на едната е винаги по-голяма от производната на другата? Просто идея е, не съм го гледал.

[ptj]

Да, и двете функции са строго растящи и всяка от тях има по две инфлексни точки. Не е толкова елементарно, но може да се покаже, че пресечената им точка е само една.

Аз исках да опитам нещо различно. Сетих се за неравенство, което като ученик бях решил с хитрост...

Примерно: ако имаш да докажеш [tex]f(x,y)\ge15[/tex] за [tex](x;y)\in D[/tex] и не виждаш директно решение, то опитваш да намериш [tex]g(x,y).h(x,y)=f(x,y)[/tex]. При това разбиваш [tex]D[/tex] на области и целта ти е във всеки от тях [tex]g(x,y).h(x,y)\ge15[/tex]. Примерно ако в единия минимумите са съответно 3 и 5, то в другия може да са 5 и 3 и т.н.

[Евва]

Полагам [tex]\sqrt[3]{2-x}[/tex]=а (1) , тогава [tex]\sqrt[3]{2-а}[/tex]=х

[tex]\begin{array}{|l} 2-x = а^{3} \\ 2 - а = x^{3} \end{array}[/tex] (вадим)

-х+а=[tex]а^{3}[/tex]-[tex]x^{3}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] (а-х)([tex]а^{2}[/tex]+ах+[tex]x^{2}[/tex])-(а-х)=0

(а-х)([tex]а^{2}[/tex]+ах+[tex]x^{2}[/tex]-1)=0
Един от корените е а=х ( виж (1) )

[tex]\sqrt[3]{2-x}[/tex]=х ; [tex]x^{3}[/tex]+х-2=0

[tex]x^{3}[/tex]+[tex]x^{2}[/tex]-[tex]x^{2}[/tex]+2х-х-2=0

([tex]x^{3}[/tex]+[tex]x^{2}[/tex]+2х)-([tex]x^{2}[/tex]+х+2)=0

х([tex]x^{2}[/tex]+х+2)-1([tex]x^{2}[/tex]+х+2)=0

([tex]x^{2}[/tex]+х+2)(х-1)=0 Единственото реално р-е тук е х=1 .

Скрит текст: покажи

Ако съм оплескала решението ,извинете ме .

[ptj]

О.К.
Показала си, че едно е корен, но къде ти е случая :
[tex]a^2+ax+x^2-1=0[/tex]

Може и да стане добро решение, но иска да го довършиш.

[Knowledge Greedy]

Решавам, решавам и... по едно време се усещам, че съм писал подобно на Евва » Сря Ное 27, 2019 8:58 am

Полагам ... Единственото реално р-е тук е х=1 . ...

Полагаме: [tex]\sqrt[3]{2-x}=y[/tex]
Уравнението става
[tex]\sqrt[3]{2-y}=x[/tex]
Двете с полагането образуват система, екв. на [tex]\begin{array}{|l} x^3=2- y \\ y^3 = 2-x \end{array}[/tex]
След почленно изваждане и разлагане на полученото, стигам до същия резултат
[tex](x-y)(x^2+xy+y^2-1)=0[/tex]
Случаят [tex]x=y[/tex] води до [tex]x=1[/tex].
Случаят [tex]x \ne y[/tex] води до две зависими квадратни уравнения [tex]\begin{array}{|l} x^2 +yx+y^2-1=0 \\ y^2 +xy+x^2-1=0\end{array}[/tex]
Техните дискриминанти трябва да са неотрицателни (ако се надяваме да има още корени)
[tex]D_1=4-3y^2\ge 0[/tex] - ако решаваме относно [tex]x[/tex]
и
[tex]D_2=4-3x^2\ge 0[/tex]- ако решаваме относно [tex]y[/tex].
Следователно
[tex]|x|\le \frac{2}{\sqrt{3}}[/tex]
и
[tex]|y|\le \frac{2}{\sqrt{3}}[/tex]

Б.о.о. считаме, че [tex]x<y[/tex]
Тогава [tex]-\frac{2}{\sqrt{3}}<x<y\le \frac{2}{\sqrt{3}}[/tex]
води до
[tex]\frac{2}{\sqrt{3}}>y=\sqrt[3]{2-x}>\sqrt[3]{2-\frac{2}{\sqrt{3}}}[/tex] [tex](**)[/tex]
Следователно
[tex]\frac{2}{\sqrt{3}}>\sqrt[3]{{2-\frac{2}{\sqrt{3}}}}[/tex]
[tex]\frac{8}{3\sqrt{3}}>2-\frac{2}{\sqrt{3}}[/tex],
което е еквивалентно на [tex]25>27[/tex]
Така
[tex]x=1[/tex] остава единственото решение.
_____________
[tex](**)[/tex] Дясното неравенство използва, че за [tex]x[/tex] също е изпълнено [tex]x<\frac{2}{\sqrt[2]{3}}[/tex],
т.е. [tex]-x>-\frac{2}{\sqrt[2]{3}}[/tex] и, респективно [tex]2-x>2-\frac{2}{\sqrt[2]{3}}[/tex]

[ptj]

Прекрасна идея, но накрая има лека грешчица:

[tex]\frac{8}{3\sqrt{3}}>2-\frac{2}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow[/tex]

[tex]8>6\sqrt{3}-6\Leftrightarrow[/tex]

[tex]14>6\sqrt{3\Leftrightarrow}[/tex]

[tex]49>27[/tex]

Тук няма противоречие.

[ptj]

[tex]\sqrt[3]{2-\sqrt[3]{2-x}}=x[/tex]

[tex]x^3-2=\sqrt[3]{x-2}[/tex]

[tex](x^3-2)^3=x-2[/tex]

[tex]x^9-6x^6+12x^3-8=x-2[/tex]

[tex](x^3-1)(x^6-5x^3+7)=x-1[/tex]

[tex](x-1)(x^2+x+1)\bigg((x^3-\frac{5}{2})^2+\frac{3}{4}\bigg)=x-1[/tex]

[tex](x-1)\bigg((x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4} \bigg)\bigg((x^3-\frac{5}{2})^2+\frac{3}{4})\bigg)=x-1[/tex]

Проблема е, че произвдението отдясно намиращо се в големите скоби е положително, но на нас ни трябва то да е по-голямо от 1.

Неговия минимум е над 3.13 , но да се използват производни за намирането му е безмислено трудно решение.

Затова трябва да помислим за някоя друга хитрост...

[tex](x^3-1)(x^6-5x^3+7)=x-1[/tex]

[tex](x-1)\bigg((x^2+x+1)(x^6-5x^3+7)-1\bigg)=0[/tex]

За да има горното уравнение само един корен ([tex]x=1[/tex]) е достатъчно да докажем:

[tex](*): (x^2+x+1)(x^6-5x^3+7)-1>0[/tex]

[tex]\bigg(\big(x(x+1)+1\big)\bigg)\bigg((x^3-1)(x^3-4)+3\bigg)-1>0[/tex]

4-те нули на интервалите са : [tex]-1,0,1,\sqrt[3]{4}[/tex].

Исканото от нас условие очевидно е изпълнено за [tex]x\in\bigg((-\infty;-1]\cup[0;1]\cup[\sqrt[3]{4};+\infty)\bigg)[/tex],

защото (неотрицателно+1)(неорицателно+3)-1>0 .

Остава да разгледаме двата интервала [tex](-1;0)[/tex] и [tex](1;\sqrt[3]{4})[/tex].

[tex](*) \Leftrightarrow \bigg((x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4} \bigg)\bigg((x^3-\frac{5}{2})^2+\frac{3}{4}\bigg)-1>0[/tex]

Нека [tex]A=\bigg((x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4} \bigg)\bigg((x^3-\frac{5}{2})^2+\frac{3}{4})\bigg)[/tex]

При [tex]x\in(-1;0)[/tex] e изпълнено [tex]А\ge\bigg((\frac{1}{2})^2+\frac{1}{4}\bigg)\bigg((\frac{5}{2})^2+\frac{3}{4}\bigg)=\frac{7}{2}>1[/tex]

При [tex]x\in(1;\sqrt[3]{4})[/tex] e изпълнено [tex]А\ge\bigg((\frac{3}{2})^2+\frac{1}{4}\bigg)\bigg(0+\frac{3}{4}\bigg)=\frac{15}{8}>1[/tex]

С което всички случаи са изчерпани. Краен отговор: [tex]x=1[/tex].


П.П. Числото в червено е коригирано, спрямо предното ми мнение, защото погрешно бях заменил неговата стойност със съответния аргумент, за който тя се достига.

[Евва]

Имам въпрос-системата,до която стигнах

[tex]\begin{array}{|l}2- x = а^{3} \\ 2-а= x^{3} \end{array}[/tex]

не е ли подобна на предишна зад.пусната от мен в ''системи'' на 24 март 2 019 г.?

[vezni]

При [tex]x\in(-1;0)[/tex] e изпълнено [tex]А\ge\bigg((\frac{1}{2})^2+\frac{1}{4}\bigg)\bigg((\frac{5}{2})^2+\frac{3}{4}\bigg)=\frac{7}{2}>1[/tex]

При [tex]x\in(1;\sqrt[3]{4})[/tex] e изпълнено [tex]А\ge\bigg((\frac{3}{2})^2+\frac{1}{4}\bigg)\bigg(0+\frac{3}{4}\bigg)=\frac{15}{8}>1[/tex]

Не е ли [tex]A\geq \left(0^2+\frac 34\right)\dots[/tex] в първия случай и [tex]A\geq \left(\left(\frac 32\right)^2+\frac 34\right)\dots[/tex] във втория? Но тогава пак се получава [tex]A>1[/tex], така че няма проблеми.

Имам въпрос-системата,до която стигнах

[tex]\begin{array}{|l}2- x = а^{3} \\ 2-а= x^{3} \end{array}[/tex]

не е ли подобна на предишна зад.пусната от мен в ''системи'' на 24 март 2 019 г.?

Струва ми се, че не е. При твоята система се получава [tex]f(f(f(x)))=x[/tex], което в непрекъснати функции има единствено решение [tex]f(x)=x[/tex]. Докато в тази задача има [tex]f(f(x))=x[/tex], което по принцип има безбройно много непрекъснати решения. Например [tex]f(x)=k-x,k\in\mathbb{R}[/tex]. Тоест директно няма как да следва, че [tex]a=x[/tex], използвайки полагането.

[ptj]

В първия случай за [tex]А[/tex] съм взел стойността [tex]x=0[/tex], защото тогава интервала [tex](-1;0)[/tex] принадлежи към левите клонове на графиките на квадратните функции.

Във втория съм взел две различни стойности, даващи минимумите на двете квадратни функции, но това не влияе на крайния резултат.

[vezni]

В първия случай за [tex]А[/tex] съм взел стойността [tex]x=0[/tex], защото тогава интервала [tex](-1;0)[/tex] принадлежи към левите клонове на графиките на квадратните функции.

Във втория съм взел две различни стойности, даващи минимумите на двете квадратни функции, но това не влияе на крайния резултат.

Имах предвид, че при [tex]x\in(-1,0)[/tex], [tex]\left(x+\frac 12\right)^2+\frac 34\geq 0^2+\frac 34[/tex], понеже мин. стойност е при [tex]x=-\frac 12\in(-1,0)[/tex]
А във втория случай [tex]\left(x+\frac 12\right)^2+\frac 34 \geq \left(\frac 32\right)^2+\frac 34[/tex], а не [tex]\left(x+\frac 12\right)^2+\frac 34 \geq \left(\frac 32\right)^2+\frac 14[/tex], тоест втората дроб е [tex]\frac 34\ne \frac 14[/tex]. Предполагам е изчислителна грешка. Но пак се получава това, което ни трябва.

[ptj]

Да, прав си трябваше да взема [tex]x=-\frac{1}{2}[/tex].
Заблудил се бях, че върха е в [tex]\frac{1}{2}[/tex] .
В края имам и друга грешка, (за която говориш), но тя е от неправилно преписване. Свободния член в първите скоби съм го написал [tex]\frac{1}{4}[/tex], вместо[tex]\frac{3}{4}[/tex].

[Sup3rlum]

Малко късно, но искам да предложа едно различно решение.

Ако разгледаме $f(x)=2-x \Rightarrow f(x) = f^{-1}(x)$

От там проблема може да се преобразува в $f(x)=f^3(x^3)$

От тук могат да се разгледат две деойки логически случаи, при които имат тривиални решения( $x=x^3$ и $f=f^3$ ) от което излиза, че $x=1$. С биективното свойство на $f(x)$ и $x^3$ разбираме че е единственото решение.

[vezni]

Малко късно, но искам да предложа едно различно решение.

Ако разгледаме $f(x)=2-x \Rightarrow f(x) = f^{-1}(x)$

От там проблема може да се преобразува в $f(x)=f^3(x^3)$

От тук могат да се разгледат две деойки логически случаи, при които имат тривиални решения( $x=x^3$ и $f=f^3$ ) от което излиза, че $x=1$. С биективното свойство на $f(x)$ и $x^3$ разбираме че е единственото решение.

Добре, защо следва, че е единствено? Биективна функция [tex]=[/tex] биективна функция може да има повече от едно решение.