две окръжности

[Сийка]

Две окръжности с радиуси R и r се допират вътрешно . Да се намери страната на равностранен триъгълник ,единият връх на който съвпада с допирната точка на двете окръжности ,а другите два върха лежат съответно на различните окръжности.

[vezni]

Интересно би било да се помисли как ще построи въпросният триъгълник с линийка и пергел, без да се използва алгебричният вид на страната.

[S.B.]

Без заглавие (45).png (279.97 KiB) Прегледано 833 пъти

Две окръжности с радиуси R и r се допират вътрешно . Да се намери страната на равностранен триъгълник ,единият връх на който съвпада с допирната точка на двете окръжности ,а другите два върха лежат съответно на различните окръжности .

Сигурно има други решения!

[Сийка]

WIN_20191202_19_15_31_Pro.jpg (170.9 KiB) Прегледано 827 пъти

отговора е

[Евва]

Не съм много сигурна ,но ето моята идея за чертежа :
1.Построяваме равностранен [tex]\triangle[/tex]АВТ
2.равностранен [tex]\triangle[/tex]TCD ,като т.Т лежи на отс.АС и т.Т лежи на отс.BD .( като АТ>TC)
3.ABCD-равнобедрен трапец
4.[tex]K_{2 }[/tex]([tex]O_{2 }[/tex];R)-описана около ABCD
5.[tex]S_{AT}[/tex][tex]\cap[/tex]отс.А[tex]О_{2 }[/tex] в т.[tex]О_{1 }[/tex]
6.[tex]K_{1 }[/tex]([tex]O_{1 }[/tex];r=A[tex]O_{1 }[/tex]=T[tex]O_{1 })[/tex]
Равностранният триъгълник е [tex]\triangle[/tex]АВТ-т.В лежи на [tex]К_{2 }[/tex] , т.Т лежи на [tex]К_{1 }[/tex]

[KOPMOPAH]

Интересно би било да се помисли как ще построи въпросният триъгълник с линийка и пергел, без да се използва алгебричният вид на страната.

Две допиращи се окръжности.png (16.33 KiB) Прегледано 779 пъти

Мисля, че така става:
$1.$ Построяваме дъга $AD$ с център т.$A$ и с радиуса $R$ на голямата окръжност;
$2.$ През т.$D$ и центъра на малката окръжност $O_2$ прекарваме права, която пресича голямата окръжност в т.$C$. Ъгъл $\measuredangle ACD=30^\circ$, защото му съответства дъга $\hat {AD}=60^\circ$ ;
$3.$ С център т.$C$ и радиус $AC$ пресичаме малката окръжност в т.$B$. Имаме, че $AC=BC$ и $\measuredangle ACD=30^\circ=\measuredangle BCD=30^\circ$, следователно $\triangle ABC$ е равностранен.

[S.B.]

Без заглавие (17).png (325.46 KiB) Прегледано 704 пъти

Май се увлякохме по чертането и забравихме,че се търси страната на триъгълника!
Да си припомним чертането:
1)[tex]\triangle АО_{1 }М[/tex] - равностранен със страна $ = R$
2)Права $p = MO_{2 }$ пресича голямата окръжност в т.$B$
3) Симетралата на $AB$ пресича малката окръжност в т. $C$
За [tex]\triangle АО_{2 }М[/tex] прилагам косинусова теорема : $O_{2 }M^{2} = R^{2} + r^{2} - 2Rr.cos60^\circ \Leftrightarrow MO_{2 }^{2} = R^{2} + r^{2} - rR$
$cos \angle AO_{2 }M = \frac{R^{2} - r^{2} - O_{2 }M^{2}}{- 2r.MO_{2 }} = \frac{R^{2} - r^{2} - R^{2} - r^{2} + rR}{- 2r\sqrt{R^{2} + r^{2} - rR}} = \frac{- 2 r^{2} + rR}{-2r\sqrt{R^{2} + r^{2} - rR}} = $
$ = \frac{-r(2r -R)}{-2r\sqrt{R^{2} + r^{2} - rR}} = \frac{2r - R}{2\sqrt{R^{2} + r^{2} - rR}} $
$\angle \varphi = 180^\circ - \angle AO_{2 }M \Rightarrow cos\varphi = - cos \angle AO_{2 }M = \frac{R - 2r}{2\sqrt{R^{2} + r^{2} - rR}}$
$sin^{2}\varphi = 1 - cos^{2}\varphi = 1 - \frac{(R - 2r)^{2}}{4(R^{2} + r^{2} - rR)} = \frac{4(R^{2} + r^{2} - rR )- (R^{2} - 4rR + 4r^{2})}{4(R^{2} + r^{2} - rR)} = $
$= \frac{4R^{2} + 4r^{2} - 4rR - R^{2} + 4rR - 4r^{2}}{4(R^{2} + r^{2} - rR)} = \frac{3R^{2}}{4(R^{2} + r^{2} - rR)}$
$sin\varphi = \frac{R\sqrt{3}}{2\sqrt{R^{2} + r^{2} - rR}}$
За $\triangle ABO_{2 }$ прилагам синусова теорема : $\frac{a}{sin\varphi} = \frac{r}{sin30^\circ} a = 2rsin\varphi = \frac{rR\sqrt{3}}{\sqrt{R^{2} + r^{2} - rR}}$

[S.B.]

Искам да допълня,че има и по-просто решение,за което по-късно се "усетих":
От [tex]\triangle АО_{2 }М[/tex], след като съм намерила $O_{2 }M = \sqrt{R^{2} + r^{2} - rR}$
По синусова теорема $\rightarrow \frac{O_{2 }M}{sin60^\circ} = \frac{AM}{sin(180^\circ - \varphi)} \Rightarrow sin\varphi = \frac{R\sqrt{3}}{2\sqrt{R^{2} + r^{2} - rR}}$
и т.н. ...


Всъщност по-интересната част от задачата е построението - останалото е банално...

[S.B.]

Добавих едно параметрично неравенство към "Задача на седмицата",а то се беше записало тук и не можах да го изтрия по друг начин! :