Сума от кадрати

[georgi111]

Да се реши в естествени числа :
а) [tex]a^2 + 2.b^2 + 3c^2 + 4d^2 = e^2[/tex]
б) [tex]a_1^2 + 2.a_2^2 + ... + n.a_n^2 = a_{n+1}^2[/tex]

[Davids]

а) е частен случай на б), така че ще се метна направо на б) с разсъжденията си.

Ако имаме да решим в естествени числа уравнението $\sum_{k=1}^nka_k^2 = a_{n+1}^2$, то добавяйки $(n + 1)a_{n+1}^2$ ще доведе до:
$\sum_{k=1}^{n+1}ka_k^2 = (n+2)a_{n+1}^2 = a_{n+2}^2$
$\Rightarrow a_{n+2} = \sqrt{n+2}a_{n+1}$

На същия принцип рекурсивно можем да определим редицата решения чрез $a_1 \in \N, a_n = \sqrt{n}a_{n-1} = \sqrt{n!}a_{1} ~\forall n\in \N_+ \backslash \{1\}$. Но $\sqrt{n!}$ не е естествено за всички $n$, то решения нямаме освен $n = 1$ и $a_1 = a_2$. Правилно ли разсъждавам?

[georgi111]

не си прав

[georgi111]

Едно решение на б) е следното :
Забелязваме, че ако положим [tex]a_i = i.a_1, i \in (2,3,..., n)[/tex], получаваме, че [tex]a_1^2(1^3 + 2^3 + ... + n^3) = a_{n+1}^2[/tex],но добре знаем, че [tex]\sum_{k=0}^{n }k^3 = (\frac {n(n+1)}{2})^2[/tex], получаваме последователно:
[tex]a_1^2.(\frac {n(n+1)}{2})^2 = a_{n+1}^2[/tex], или [tex]a_{n+1} = (\frac {n(n+1)}{2}).a_1[/tex] върши работа т.е. една безкрайна серия решения са : [tex](a_1, ... , a_{n+1})= (a_1, 2.a_1, ... , n.a_1, \frac {n(n+1)}{2}.a_1)[/tex]
Има ли други ?

[pal702004]

Има безброй много други, georgi. Еднородно уравнение от втора степен. Което има поне едно решение. Не можеш да му насмогнеш на параметрите в параметричното решение. Утре ще напиша "некои съображения" и пълно решение в рационални числа (защото еднородно в цели е на практика е в рационални (ако първото уравнение разделим на $e^2$ ще получим $x^2+2y^2+3z^2+4w^2=1$ в рационални), което има решение $(1,0,0,0)$, което от своя страна поражда 4-параметрично решение в рационални (от 4 параметъра, всеки от които има числител и знаменател, тоест, 8-параметрично репение във взаимнопрости цели числа. 8-параметрично!!! Ако трябва да е пълно. До утре

[pal702004]

$x^2+2y^2+3z^2+4w^2=1$ в рационални, с базово решение $(-1,0,0,0)$. Полагаме

$x=aw-1,y=bw,z=cw$, където $a,b,c$ са рационални параметри (не съм преброил вчера правилно параметрите). Решаваме, получаваме

$w=\dfrac{2a}{a^2+2b^2+3c^2+4}$. Откъдето

$x = \dfrac{a^2 - 2 b^2 - 3 c^2 - 4}{a^2 + 2 b^2 + 3 c^2 + 4}$

$y=\dfrac{2ab}{a^2+2b^2+3c^2+4}$

$z=\dfrac{2ac}{a^2+2b^2+3c^2+4}$

Проверка.

Това са почти всички решения в рац. числа на уравнението 1. За абсолютно всички трябва да се разгледа отделно случая $w=0$
(Горното полагане предполага, че за всяка двойка $(x,w)$ рационални числа съществува единствено рационално $a$, такова, че $x=a*w-1$ .Но при $w=0$, такова $a$ не същствува, така че този случй трябва да разгледа отделно.

При преминаване от рационални в цели на уравнението $X^2+2Y^2+3Z^2+4W^2=V^2$ има два варианта: всеки рац. параметър да се запише със своя си знаменател ($a=p/q,b=r/s\cdots$) като получим 6-параметрично решение в цели, или рационалните параметри да се приведат под общ знаменател ($a=p/s,b=q/s,c=r/s$) като получим по-компактно на вид 4-параметрично решение, което си има свои недостатъци - трябва да се съкращава на огромен НОД. Или, 4-параметричното решение е

$X=(p^2-2q^2-3r^2-4s^2)/\Delta$

$Y=2pq/\Delta$

$Z=2pr/\Delta$

$W=2ps/\Delta$

$V=(p^2+2q^2+3r^2+4s^2)/\Delta$

където $p,q,r \in \mathbb{Z}, s \in \mathbb{N},\Delta=\gcd(X,Y,Z,W,V)$

И въобще еднородните уравнения в цели е по-добре да се решават в рационални, за да ги няма тези по-горе многословни обяснения.
Увеличаването на броя на променливите води единствено до безсмисленото увеличаване на броя на параметрите, затова такива уравнения се разглеждат при 2, максимум 3 неизвестни. Общо решение за $n$ неизвестни е просто ...безполезно.

[pal702004]

Което ме навежда на мисълта, че всички решения на уравнението

$\sum_{k=1}^n kx_k^2=y^2$

в една или друга степен се обуславят от тъждеството (мисля че е тъждество, не съм проверявал)

$\left(a_1^2-\sum_{k=2}^n ka_k^2\right)^2+\sum_{k=2}^n k\left(2a_1a_k\right)^2=\left(a_1^2+\sum_{k=2}^n ka_k^2\right)^2$

Тъждество е, разбира се.

[georgi111]

Абсолютно си прав pal702004 ... Много яко разсъждение

[georgi111]

Аз го видях за 4 променливи и просто "стрелях във въздуха" за n неизвестни, мислейки, че ще се описва добре и с обобщаваща формула в общия случай , което се оказа не точно така.