Многократно отразяване

[Добромир Глухаров]

В равнината е даден ъгъл с мярка $\gamma$ и точка $M$ от неговата ъглополовяща. Светлинен лъч тръгва от $M$ под ъгъл $\alpha$ спрямо перпендикуляра, спуснат от $M$ към едното рамо на ъгъла и се отразява последователно от рамената като от плоски огледала. След $2n+1$ отразявания лъчът се връща отново в точка $M$. Да се намери явния вид на функцията $\alpha_{2n+1}(\gamma)=\varphi(n,\gamma)=?$

Това е скица при $n=4$, за съжаление не е точен чертеж:

Отразяване в ъгъл.png (16.42 KiB) Прегледано 639 пъти

[peyo]

Забавна задача. С помощта на точно построение в geogebra classic (претрупания чертеж накрая) проверих, че следната формула е решение на задачата:

$\alpha_{2n+1}(\gamma) = n*\gamma$

Само за $n$ такива, че $ n< 90/\gamma - 1$

А стигнах до тази формула по малко заобиколен път:

$x_0=90$
$\alpha_0 = 90- x_0 = 0$

$x_1 = 180 - \gamma - x_0 = x_0 - \gamma$
$\alpha_1 = 180 - 90 - x_1 = 90 - x_1 $

$x_2 = 190 - \gamma - (x_1 + (180 - 2*x_1)) = 180 - \gamma - x_1 - 180 + 2*x_1 = x_1 - \gamma$
$\alpha_2 = 90 - x_2$


$x_3 = x_2 - \gamma$
$\alpha_3 = 90 - x_3$

$x_n = x_{n-1} - \gamma$
$\alpha_n = 90 - x_n = 90 - x_{n-1} + \gamma = 90 - (90- \alpha_{n-1}) + \gamma $

$\alpha_n = \alpha_{n-1} + \gamma = n*\gamma$

продължава докато $\alpha < 90 - \gamma$ или $ n*\gamma< 90 - \gamma$

[Добромир Глухаров]

Това е отговорът. Само не съм сигурен, че няма и друга възможност - ъгълът $\beta$ да не е точно $90^\circ$, а лъчът все пак да се върне в точка $M$.