Последната цифра на положително цяло число става първа

[Меди]

Ако последната цифра на положително цяло число стане първа, то полученото число ще бъде точно два пъти по-голямо от даденото. Моето число е възможно най-малкото с това свойство. Кое е моето число?

Скрит текст: покажи

105,263,157,894,736,842

[pal702004]

105263157894736842

Периода на дробта $2/19$

[KOPMOPAH]

105263157894736842

Периода на дробта $2/19$

Интересен е не само отговорът, а и пътят до него. Бихте ли споделил как го получихте?

[KOPMOPAH]

... си отговарям сам на поставения въпрос (с помощта на приятел): тук е показано как.

Но, като сме почнали, да се опитаме да решим такава редакция на задачата:

Ако последната цифра на положително цяло число стане първа, то полученото число ще бъде точно ТРИ пъти по-голямо от даденото. Моето число е възможно най-малкото с това свойство. Кое е моето число?

Скрит текст: покажи

Твърде голямо, ама нали си е мое - 1 034 482 758 620 689 655 172 413 793 , ако не съм объркал някъде сметките

[pal702004]

Тази задача (с варианта увеличава се 5 пъти) съм я решавал на олимпиада в 10 клас. Не съм гледал видеото, предполагам е подобно.
Нека търсеното число $X$ е $k$- цифрено с последна цифра $b$, т.е. $X=10A+b$, където $A$ е естествено число, $b$ е цифра. След преместване на последната цифра отпред се получава числото $b\cdot 10^{k-1}+A$

От условието имаме

$(10A+b)\cdot 2=b\cdot 10^{k-1}+A$

Решаваме относно $A$ и получаваме

$A=b\cdot \dfrac{10^{k-1}-2}{19}$, откъдето

$X=b\cdot \dfrac{10^k-1}{19}$

което трябва да е цяло, освен това $k$-цифрено ($10^{k-1}\le X<10^k$), числителя е практически $10^k$, следователно $\dfrac{1}{10}<\dfrac{b}{19}\le 1$. Тоест, $b\in [2;9]$

19 е просто число, $b$ е може да помогне в съкращаването, остава $10^k-1$ да се дели на 19. По теоремата на Ферма, най-малкото такова $k$ е 18 или негов делител. В случая е 18.

И най-малкото допустимо $b$ е 2.

При варианта на KOPMOPAH (трикратно увеличение) $X=b\cdot \dfrac{10^k-1}{29},\;b\in [3;9]$ и най-малкото число е 28-цифрено (най-малките). Най-добрия вариант, който и беше на олимпиадата е при 5 пъти увеличение. Тогава

$X=b\cdot \dfrac{10^k-1}{49},\;k\in [5;9]$ и тук множителя $b=7$ (за разлика от всички останали варианти) може сериозно да помогне.

И учениците могат спокойно, без изчислителна техника, да разделят $999999$ на 7.

В общия случай, ако се увеличава $n$ пъти, формулата за $X$ е

$X=b\cdot \dfrac{10^k-1}{10n-1},\;b\in [n;9]$

и най-голямо минимално число се получава при $n=6$, 58-цифрено.
Да се върнем на началното условие.

От $X=b\cdot \dfrac{10^k-1}{19}$ получаваме

$\dfrac{X}{10^k-1}=\dfrac{b}{19}$

Вляво имаме дроб, числителя на която е $k$ - цифрено число, а знаменателя е число от $k$ девятки. Или, като десетична дроб, това е числото $0,(X)$

Тоест, общото решение е:
Eдин или няколко периода на дробта $\dfrac{b}{19},\;b\in [2;9]$

По-точно: период на дробта (не задължително минимален)