#Останете си вкъщи

[S.B.]

Скрит текст: покажи

Нека да не скучаем по време на карантината!

1) [tex]log_{16x }x^{3} + log_{\frac{x}{2} }\sqrt{x} = 2[/tex]

2) Даден е $\triangle ABC, AC = BC = 50, AB = 60$ . Построена е височината $CD$.Нека т.$M$ е среда на $CD$.
$AM \cap BC = N$.Да се намери:
а) дължината на $MN$
б ) $S_{MNBD } = ?$

Скрит текст: покажи

#Да Съхраним Стереометрията

3) Дадена е правилна четириъгълна пирамида с основен ръб $a$.Околната стена сключва с равнината на основата ъгъл с големина $\alpha$.През един от основните ръбове е построена равнина,която сключва с равнината на основата ъгъл с големина $\beta$,като $\beta <\alpha$ . Да се определи вида на полученото сечение и да се изчисли лицето му.

[ins-]

Скрит текст: покажи

На какъв принцип са подбрани задачите? От минал изпит/конкурс/състезание ли са?

[S.B.]

Скрит текст: покажи

На какъв принцип са подбрани задачите? От минал изпит/конкурс/състезание ли са?

От курс за подготовка на кандидат студенти проведен в УНСС през 2000 година.

[Knowledge Greedy]

1) Логаритмите представяме с основа 2.
[tex]\frac{3logx}{log16x}+\frac{log\sqrt{x}}{log\frac{x}{2}}=2[/tex]
Дефиниционното множество е:
[tex]\begin{array}{|l} x>0 \\ x\ne 2 \\ x\ne \frac{1}{16} \end{array}[/tex]
Полагаме [tex]log_2x=u[/tex] и след кратко преобразуване
[tex]\frac{3u}{4+u}+\frac{0,5u}{u-1}=2[/tex]
дробното уравнение е равносилно на квадратното [tex]1,5u^2-7u+8=0[/tex], чиито корени [tex]u_1=\frac{8}{3}[/tex] и [tex]u_2=2[/tex]
след връщане на полагането дават [tex]x_1=4\sqrt[3]{4}[/tex] и [tex]x_2=4[/tex]


2.) Построяваме [tex]DE||AN[/tex]
С две средни отсечки:
[tex]DE[/tex]- в [tex]\triangle ANB[/tex] и [tex]MN[/tex]- в [tex]\triangle DEC[/tex] съобразяваме, че точките [tex]N[/tex] и [tex]E[/tex] делят бедрото [tex]BC[/tex] на три равни части.
Дължината на [tex]MN[/tex] ще определим от отношението [tex]\frac{MN}{AM}[/tex], което пък откриваме с теорема на Менелай за [tex]\triangle ABN[/tex] и правата [tex](CMD)[/tex]

[tex]\frac{AD}{DB}.\frac{BC}{CN}.\frac{NM}{MA}=1 \,\ \Leftrightarrow[/tex] [tex]\frac{1}{1}.\frac{3}{1}.\frac{MN}{MA}=1 \,\ \Rightarrow \,\ \frac{MN}{MA}=\frac{1}{3}[/tex]

И тъй като [tex]AM=10\sqrt{13}[/tex], [tex]MN=\frac{10}{3}\sqrt{13}[/tex]

Лицето на един четириъгълник.png (3.63 KiB) Прегледано 750 пъти

Планът за лицето на четириъгълника [tex]DBNM[/tex] e:
1) Лицето [tex]S_{\triangle ABC}=1200[/tex]
2) Лицето [tex]S_{\triangle ABN}=\frac{2}{3}.1200=800[/tex]
3) Лицето [tex]S_{\triangle ADM}=300[/tex]
4) [tex]S_{DBNM}=800-300=500[/tex]

[Евва]

2 зад. а)
MN=x=?
Чрез допълнително построение доказах ,че МА=3MN т.е. МА=3х
От [tex]\triangle[/tex]ADM-правоъгълен намираме МА=[tex]\sqrt{900+400}[/tex] ; МА=10[tex]\sqrt{13}[/tex]
Тогава 3х=10[tex]\sqrt{13}[/tex]
х=[tex]\frac{10\sqrt{13}}{3}[/tex]

[Knowledge Greedy]

\frac{a}{b}3.) Да построим допълнително апотемите на двойката околни стени [tex](BCM)[/tex] и [tex](ADN)[/tex].
(Точките[tex]N и K[/tex] са среди на основните ръбове [tex]AD и BC[/tex] - съответно.)

Правилната пирамида със сечение под ъгъл бета с основата.png (9.84 KiB) Прегледано 683 пъти

От условието: линейният ъгъл на двустенния между околна стена и основата е [tex]\angle NKM[/tex],
а линейният ъгъл на сключения между дадената равнина ([tex]\lambda[/tex]) и равнината на основата е [tex]\angle NKZ[/tex].
Това е така, защото осното сечение на пирамидата [tex](NKM)[/tex] съдържа [tex]NK\bot BC[/tex] и [tex]MK \bot BC[/tex]
[tex]BC[/tex] е пресечница на околната стена и основата; на сечението ([tex]\lambda[/tex]) и основата.
Следователно [tex]\angle NKM= \alpha[/tex] и [tex]\angle NKZ=\beta[/tex].[tex][/tex][tex][/tex]
По-подробно.
Зададеното сечение ([tex]\lambda[/tex]) определяме още и с две прави - правата [tex]BC[/tex] и правата през точка [tex]K[/tex], перпендикулярна на [tex]BC[/tex]
Последната права пробожда [tex](ADM)[/tex] в точката [tex]Z[/tex]. Ако означим с [tex]PQ[/tex] пресечницата на [tex]\lambda[/tex] и равнината [tex](ADM)[/tex]
(Точките [tex]P\in AD[/tex] и [tex]Q\in DC[/tex].) точката [tex]Z\in PQ[/tex] и [tex]PQ|| BC[/tex] - по теоремата за пресечниците на две пресичащи се равнини с трета - те са успоредни помежду си и на пресечницата им.

Сега заключението. [tex]PQ||BC[/tex] означава, че четириъгълникът [tex]BCQP[/tex] - общ за[tex]\lambda[/tex] и пирамидата е трапец.

Останалото се свежда до изследване на трапеца. Като начало ще определим неговата височина, разглеждайки сечението [tex](NKM)[/tex] (което е равнобедрен триъгълник).
От синусова теорема за[tex]\triangle NKZ[/tex] следва, че [tex]\frac{ZK}{sin\alpha} = \frac{NK}{sin (\alpha+\beta)} \,\ \Rightarrow \,\ ZK=\frac{asin \alpha}{sin (\alpha+\beta)}[/tex]
А сега неговата малка основа.

Сечението през двете апотеми и височината.png (6.29 KiB) Прегледано 675 пъти

Аналогично - по синусова теорема за [tex]\angle MKZ[/tex]
[tex]\frac{MZ}{sin(\alpha-\beta)}=\frac{MK}{sin(\alpha+\beta)} \,\ \Rightarrow[/tex] [tex]MZ=\frac{MKsin(\alpha-\beta)}{sin(\alpha+\beta)}[/tex]

Сега в стената [tex]ADM[/tex] по теорема на Талес
[tex]\frac{PQ}{AD}= \frac{MZ}{MN}[/tex] (И да не забравяме, че [tex]MN[/tex] и [tex]MK[/tex] са равни апотеми)
Следователно [tex]PQ=\frac{asin(\alpha-\beta)}{sin(\alpha+\beta)}[/tex]

Остава [tex]S_{BCQP}=\frac{BC+PQ}{2}.ZK[/tex]
[tex]S_{BCQP}=\frac{[sin(\alpha-\beta)sin(\alpha+\beta)]sin\alpha}{2sin(\alpha+\beta)sin(\alpha+\beta)}.a^2[/tex]
Отговор.
[tex]S_{BCQP}=\frac{sin^2 \alpha cos \beta}{sin^2(\alpha+\beta)}a^2[/tex]

[S.B.]

Без заглавие - 2020-03-30T215109.426.png (241.47 KiB) Прегледано 642 пъти

2) Даден е $\triangle ABC, AC = BC = 50, AB = 60$ . Построена е височината $CD$.Нека т.$M$ е среда на $CD$.
$AM \cap BC = N$.Да се намери:
а) дължината на $MN$
б ) $S_{MNBD } = ?$

Още един поглед върху задачата

От [tex]\triangle ADM \rightarrow AM = \sqrt{30^{2} + 20^{2}} = 10\sqrt{13}[/tex]
$sin\alpha = \frac{3\sqrt{13}}{13} ; cos\alpha = \frac{2\sqrt{13}}{13}$
От $\triangle BCD \rightarrow sin\beta = \frac{3}{5} , cos\beta = \frac{4}{5}$
От $\triangle MNC \rightarrow \gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta) \Rightarrow sin\gamma = sin(\alpha + \beta) = sin\alpha.cos\beta + cos\alpha.sin\beta$
$sin\gamma = \frac{3\sqrt{13}}{13}.\frac{4}{5} + \frac{2\sqrt{13}}{13}.\frac{3}{5} = \frac{18\sqrt{13}}{65}$
За $\triangle MNC$ прилагам Синусова теорема: $\displaystyle\frac{MN}{sin\beta} = \displaystyle\frac{CM}{sin\gamma} \Leftrightarrow \displaystyle\frac{x}{\displaystyle\frac{3}{5}} = \displaystyle\frac{20}{\displaystyle\frac{18\sqrt{13}}{65}} \Rightarrow x = \frac{10\sqrt{13}}{3}$

$S_{DBNM } = S_{DBC } - S_{MNC } \Leftrightarrow S_{DBNM } = \frac{DB.CD}{2} - \frac{1}{2} MC.MN.sin\alpha $
$ S_{DBNM } = \frac{30.40}{2} - \frac{1}{2}.20.\frac{10\sqrt{13}}{3}.\frac{3\sqrt{13}}{13} = 600 - 100 = 500$

[Евва]

Скрит текст: покажи

Вчера докато измътя това решение,ми свърши свободното време.

2 зад. Ето как доказах ,че МА=3х
През т.D построяваме права d||ВС .Нека d пресича AN в точка Е .
Така построената отсечка DE се явява средна отсечка в [tex]\triangle[/tex]ABN [tex]\Rightarrow[/tex] AE=NE (1)
Разглеждаме [tex]\triangle[/tex]DME и [tex]\triangle[/tex]MNC
1.DM=CM
2.[tex]\angle[/tex]DME=[tex]\angle[/tex]NMC
3.[tex]\angle[/tex]EDM=[tex]\angle[/tex]NCM (по 2 признак ) [tex]\triangle[/tex]DME[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]MNC [tex]\Rightarrow[/tex] EM=MN (2)
Нека MN=x, тогава AM=AE+EM=2x+x ; AM=3x