Стара (от 1942 г.) и забавна система

[ins-]

Да се реши системата:
[tex]1+(y-z)^2=2x[/tex]
[tex]16+(z-x)^2=8y[/tex]
[tex]81+(x-y)^2=18z[/tex]

[Евва]

Допускаме,че y=z . Системата добива вида:

[tex]\begin{array}{|l} 1 + (y-y)^{2} = 2x \\ 16+(y-x)^{2} = 8y\\ 81+(x-y)^{2}=18y \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} x=\frac{1}{2}\\ 16 + (y-\frac{1}{2})^{2} = 8y \\ 81+(\frac{1}{2}-y)^{2} = 18y \end{array}[/tex]

81-16=18y-8y
y=[tex]\frac{13}{2}[/tex]
Получихме решение: ([tex]\frac{1}{2}[/tex]; [tex]\frac{13}{2}[/tex]; [tex]\frac{13}{2}[/tex])

Ако допуснем,че z=x ,то получаваме отговор (5;2;5) .

Ако допуснем,че х=у ,то получаваме отговор ([tex]\frac{5}{2}[/tex];[tex]\frac{5}{2}[/tex];[tex]\frac{9}{2}[/tex])

Скрит текст: покажи

Други идеи нямам.

[ins-]

Аз имах други идеи. Въпреки, че изглежда лесна - системата може да подхлъзне човек, ако не внимава.

Скрит текст: покажи

Започнах по следния начин:
От първото уравнение: [tex]\frac{1+(y-z)^2}{2}=x[/tex] *)
От второто: [tex]\frac{16+(z-x)^2}{8}=y[/tex] **)
Като извадим получените уравнения: *) - **) се получават следните случаи:
[tex]I.[/tex] [tex]2(1+y-z)=4-z+x[/tex]
[tex]II.[/tex] [tex]2(1+y-z)=-4+z-x[/tex]
Ако има нужда от повече детайли - мога да ги споделя.
След като тръгне от тези случаи - човек може да направи грешка по много начини.
Системата допуска повече от един начин на решение.

[ins-]

Ако на някого му се гледат решения:

Скрит текст: покажи

https://artofproblemsolving.com/community/q1h2195072p16511713

[matst]

Решавам с помощта на система за компютърна алгебра Maxima ( виж http://maxima.sourceforge.net/).
Стъпка 0. Изчиства се паметта

Код: Избери целия код

kill(all)$

Стъпка 1. Изразява се [tex]x[/tex] от първото уравнение.

Код: Избери целия код

sys1:[1+(y-z)^2-2*x, 16+(z-x)^2-8*y, 81+(x-y)^2-18*z];
solve(sys1[1],x);


и се получава [tex]x=\frac{{{z}^{2}}-2 y z+{{y}^{2}}+1}{2}[/tex]
Стъпка 2. Замества се [tex]x[/tex] в другите две уравнения

Код: Избери целия код

sys2:4*[sys1[2],sys1[3]],%,factor;

и левите страни на уравненията се разлагат на множители
[tex]\left( {{z}^{2}}-2 y z-6 z+{{y}^{2}}+4 y+13\right) \, \left( {{z}^{2}}-2 y z+2 z+{{y}^{2}}-4 y+5\right) ,\left( {{z}^{2}}-2 y z-6 z+{{y}^{2}}+4 y+13\right) \, \left( {{z}^{2}}-2 y z+6 z+{{y}^{2}}-8 y+25\right)[/tex]
Стъпка 3. В десните страни на уравненията има общ множител [tex]A[/tex]

Код: Избери целия код

A:part(sys2[1],1);

Решението продължава с изследване на два случая [tex]A\not=0[/tex] и [tex]A=0[/tex].
Случай 1. [tex]A\not=0[/tex]

Код: Избери целия код

sys2/A,factor;
[%[1],%[2]-%[1]],factor;

Получава се система с леви страни на уравненията
[tex]{{z}^{2}}-2 y z+2 z+{{y}^{2}}-4 y+5,4 \left( z-y+5\right)[/tex]
Следователно, [tex]y=z+5[/tex] и после се решава [tex]z=5[/tex].
Проверява се, че при [tex]z=5[/tex] и [tex]y=z+5=10[/tex] се получава [tex]A=48[/tex] (и значи, [tex]A\not=0[/tex]).
Изчислява се [tex]x=13[/tex]. И така, в този случай се получава решение [tex]x=13, y=10, z=5[/tex].
Случай 2. [tex]A=0[/tex]
От [tex]A=0[/tex] се решава [tex]z[/tex]

Код: Избери целия код

solve(A,z);

Така, [tex]z=y-\sqrt{2}\, \sqrt{y-2}+3,z=y+\sqrt{2}\, \sqrt{y-2}+3[/tex]
Заместват се във формулата за [tex]x[/tex] и се получават две решения, в които
[tex]x[/tex] и [tex]z[/tex] са изразени чрез [tex]y[/tex] като при това трябва [tex]y\ge 2[/tex].
Край на решението.
Отг. Системата е със следните решения [tex]x=13, y=10, z=5[/tex];
[tex]x=y-3 \sqrt{2}\, \sqrt{y-2}+3,z=y-\sqrt{2}\, \sqrt{y-2}+3, y\ge2[/tex];
[tex]x=y+3 \sqrt{2}\, \sqrt{y-2}+3,z=y+\sqrt{2}\, \sqrt{y-2}+3, y\ge2[/tex].

[ins-]

На адресът в AoPS има решенията, изразени чрез [tex]x[/tex]. В предложеното по-горе решение са изразени чрез [tex]y[/tex]. Биха могли да се изразят и чрез [tex]z[/tex]. Логиката е сходна. Разлагането от стъпка 2 без компютър не е интуитивно, но красивото при него е, че показва дълбочината на замисъла в тази задача.

[peyo]

Решавам с помощта на система за компютърна алгебра Maxima ( виж http://maxima.sourceforge.net/).
...

Тази задача ми е интересна с това как различните програми за символна математика се справят с решаването.

Ако с Maxima се опитаме да я решим директно:

Код: Избери целия код

(%i27) solve([1+(y-z)^2 =2*x, 16+(z-x)^2 = 8*y, 81+(x-y)^2 = 18*z]);

algsys: Couldn't reduce system to a polynomial in one variable.
 -- an error. To debug this try: debugmode(true);

Съобщението за грешка не е особено ясно какво е. Но тук, ще отгатнем, че иска да каже , че няма еднозначно решение и ще намалим броя на променливите до x и z самo:

Код: Избери целия код

(%i28) solve([1+(y-z)^2 =2*x, 16+(z-x)^2 = 8*y, 81+(x-y)^2 = 18*z], [x,z]);
(%o28) [[x = y - 3 sqrt(2) sqrt(y - 2) + 3, z = y - sqrt(2) sqrt(y - 2) + 3],
          [x = y + 3 sqrt(2) sqrt(y - 2) + 3, z = y + sqrt(2) sqrt(y - 2) + 3]]

Виждаме, че отговора който върна прилича много да товва което matst по-горе намери, но по някаква причина не разглежда отделно случая когато x=13. Не мога да кажа защо и дали е правилно.

Да видим как ще се справи Sympy с директен поодход:

Код: Избери целия код

In [174]: solve( [-2*x + (y - z)**2 + 1, -8*y + (-x + z)**2 + 16, -18*z + (x - y)**2 + 81] )
Out[174]:
[{x: z - 2*sqrt(2*z - 9) - 2, y: z + sqrt(2*z - 9) - 2},
 {x: z + 2*sqrt(2*z - 9) - 2, y: z - sqrt(2*z - 9) - 2},
 {x: 1, z: 9, y: 10},
 {x: 13, z: 5, y: 10}]

Веднага намери решения и даже разглежда отделно случаи когато y=10. Пак не знам защо и дали има смисъл.

Да видим wolframalpha.com https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+1%2B%28y-z%29%5E2+%3D2*x%2C+16%2B%28z-x%29%5E2+%3D+8*y%2C+81%2B%28x-y%29%5E2+%3D+18*z

xxkjfgdgbdbndvmx.png (61.5 KiB) Прегледано 816 пъти

Виждаме, че по някаква причина волфрам разглежда отделно 3 случая когато x=10. Защо?!

И така коя от 3-те програми дава най-добро решение? Може би решенията са еквивалентни?

[ins-]

Виждаме, че по някаква причина волфрам разглежда отделно 3 случая когато x=10. Защо?!
И така коя от 3-те програми дава най-добро решение? Може би решенията са еквивалентни?

За Wolfram - разглежда 3 случая, когато [tex]x=13[/tex], а не когато [tex]x=10[/tex]. Причината е, че в този случай това са решенията на системата.
https://artofproblemsolving.com/ community/q1h2195072p16481243 - в Post 9 се опитах да систематизирам разсъждения, които вероятно са сходни с това, което програмата прави.

За другите програми - би трябвало да дават еквивалентни решения, ако не грешат. Причината за разликите в записите е, че решават задачата чрез различни алгоритми.

Софтуерът е удобен за проверка на грешки и пестене на време, но е хубаво човек да може да се оправя и без него.

[matst]

Точката (x=13, y=10, z=5) е изолирана и не се получава с формулите. Всички останали точки се получават с формулите при конкретна стойност на y.

Не ми допада писаното за тази задача в artofproblemsolving (до Jul 18, 2020, 4:27 PM, #10).

Относно системите за компютърна алгебра - аз не съм сигурен как трябва да се използват за да се получават надеждни резултати.
Наистина, има доста проблеми при решаване
на задачи с тях (важи за абсолютно всичките). Но, не искам да се лишавам нито от Maxima, нито от някоя друга система.