50-тата цифра на стоцифрено число

[ins-]

Ако [tex]N[/tex] е най-голямото 100-цифрено число, за което [tex]7N[/tex] също е стоцифрено, да се намери 50-тата цифра на [tex]N[/tex].

[pal702004]

$10^{6k} \equiv 1 \pmod 7$, тоест, всяко шестцифрено число, записано с еднакви цифри се дели на 7.(А следователно и $6k$-цифрено.) За $7N$ това ще са, разбира се, девятки. 96 девятки. И най-голямото 4-цифрено, делящо се на 9 е 9996. Тоест,

$7N=999\cdots 96$ (99 девятки и 6)

$999999/7=142857$ - периода на $1/7$, което в нашия случай ще се повтаря циклично. Или

$N=142857142857\cdots 1428$

Така че 50-тата цифра на N е 4.

[matst]

Цифрите се броят от дясно на ляво. Така, май, отговорът е 2.

[pal702004]

Цифрите се броят от дясно на ляво. Така, май, отговорът е 2.

Бихте ли ми припомнили признака за делимост на 2. (или 5, или 10)

Коя е първата цифра на $\pi$?

[matst]

Добре, те се броят отляво на дясно.

[DekataBG]

Може ли да ми обясните малко по-подробно как от това, че 10^6к дава остатък 1 при деление на 7, следва, че всяко 6к-цифрено число, записано с еднакви цифри, се дели на 7

[?ко]

Може ли да ми обясните малко по-подробно как от това, че 10^6к дава остатък 1 при деление на 7, следва, че всяко 6к-цифрено число, записано с еднакви цифри, се дели на 7

По-скоро следва от това, че $10^{3k}$ дава остатък $1$ при деление на $7$. Ако е дадено число $[x_{1 }...x_{m}]$, можем да го представим като [tex]\sum_{n=0}^{N}c_{n}1000^n \equiv \sum_{n=0}^{N}c_{n}(-1)^n[/tex], $N = k$, $c_{n} := [x_{m-3n-2}x_{m-3n-1}x_{m-3n}]$ и $x_{v} := 0$ за $v<1$.

По този начин можеш между другото да откриеш правила за деление за всички числа .

[?ко]

Може ли да ми обясните малко по-подробно как от това, че 10^6к дава остатък 1 при деление на 7, следва, че всяко 6к-цифрено число, записано с еднакви цифри, се дели на 7

По-скоро следва от това, че $10^{3k}$ дава остатък $6$, тоест $-1$ при деление на $7$. Ако е дадено число $[x_{1 }...x_{m}]$, можем да го представим като [tex]\sum_{n=0}^{N}c_{n}1000^n \equiv \sum_{n=0}^{N}c_{n}(-1)^n[/tex], $N = k$, $c_{n} := [x_{m-3n-2}x_{m-3n-1}x_{m-3n}]$ и $x_{v} := 0$ за $v<1$.

По този начин можеш между другото да откриеш правила за деление за всички числа .

Бях направил правописна грешка...