Система уравнения от 80-те

[ins-]

Да се реши системата:
[tex]x+xy+xyz=12\\y+yz+yzx=21\\z+zx+zxy=30[/tex]

[Knowledge Greedy]

Не е възможно [tex]x=y=z[/tex]

Но е възможно две от неизвестните да са равни.
Лесно се вижда, че [tex]y=z[/tex] също отпада.
Но системата с [tex]x=y[/tex] има решение [tex]\begin{array}{|l} x = 1 \\ y = 1\\ z = 10 \end{array}[/tex]

Също така, ако [tex]x=z[/tex], системата има решение [tex]\begin{array}{|l} x = -2 \\ y = 7 \\ z = -2 \end{array}[/tex]
Да разгледаме [tex]0<z \le y<x[/tex]
Веднага следва [tex]\frac{1}{z}\ge \frac{1}{y}>\frac{1}{x}[/tex] и, разбира се [tex]\frac{30}{z}\ge \frac{21}{y}>\frac{12}{x}[/tex] [tex](\ast)[/tex]

Ако запишем системата във вида [tex]\begin{array}{|l} 1+ y+yz = \frac{12}{x} \\ 1+ z+zx = \frac{21}{y} \\ 1+ x+xy = \frac{30}{z} \end{array}[/tex]
Вследствие на сравняване на левите страни на второто и първото уравнение - като използваме [tex](\ast)[/tex], получаваме [tex]z-y>z(y-x)[/tex] - противоречие.
...
_____________
Разгледах само четири от случаите и се надявам да получа и в останалите (които съвсем не са малко) противоречие за неравни две по две [tex]x, y[/tex] и [tex]z[/tex].

[ins-]

Скрит текст: покажи

Системата има решение без неравенства. Ако човек гледа решението е лесна, но ако трябва да я реши не е точно така.

[KOPMOPAH]

Въоръжени с много търпение започваме да решаваме по стандартния начин.

От третото уравнение имаме $$z=\frac{ 1 }{ 1+x+xy },$$ Заместваме във второто и получаваме:$$x=\frac{ 21-31y }{ y^2+10y-21 }.$$ Нататък: $$z=-\frac{ y^2+10y-21 }{ y^2 },$$ като заместим получените изрази за $х$ и $z$ в първото уравнение, получаваме кубичното: $$4y^3-53y^2+196y-147=0.$$Решаването на кубично уравнение не е от най-приятните неща, особено на състезание, но ако забележим, че $y=1$ е корен, нещата стават значително по-лесни.
Получаваме, че корени на кубичното уравнение са $$y=1; \; -2; \; \frac{ 21 }{ 4 }.$$
Окончателно, решенията на системата са: $$(1;1;10), \; (-2;7;-2), \; \left( -\frac{ 12 }{ 5 };\frac{ 21 }{4 };-\frac{15 }{ 7 } \right).$$
Сигурен съм, че има по-красиво решение.

[S.B.]

Въоръжени с много търпение започваме да решаваме по стандартния начин.

Специални адмирации за железните нерви и търпение проявени от нашият уважаван колега KOPMOPAH!!!

[ins-]

В решението, което видях се правеше следното:

Записваме уравненията във вида: [tex]\begin{array}{|l} 1+ y+yz = \frac{12}{x} \\ 1+ z+zx = \frac{21}{y} \\ 1+ x+xy = \frac{30}{z} \end{array}[/tex]

Умножаваме ги. Получава се: [tex](1+y+yz)(1+z+zx)(1+x+xy)=\frac{12.21.30}{xyz}[/tex]

От началните уравнения заместваме в новополученото уравнение и стигаме до: [tex](12-xyz)(21-xyz)(30-xyz)=\frac{12.21.30}{xyz}[/tex].

Като решим това уравнение (например с Хорнер) можем да намерим възможните стойности на [tex]xyz[/tex] и да решим системата, но действително има много изчисления.

Виждал съм и по-тегави задачи на състезания, но има и задачи, които са в списания, като човек може на спокойствие да им отдели повече време.

Задачата е предложена от Stanley Rabinowitz през 1984 г.

[ins-]

Допуснал съм грешка. Стига се до: [tex](13-xyz)(22-xyz)(31-xyz)=\frac{12.21.30}{xyz}[/tex].